椭圆（1）习题

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1、椭圆（1）习题二1．已知F1，F2是椭圆＋＝1的两焦点，过点F2的直线交椭圆于A，B两点．在△AF1B中，若有两边之和是10，则第三边的长度为解析：根据椭圆定义，知△AF1B的周长为4a＝16，故所求的第三边的长度为16－10＝6.答案：62．已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1、F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为解析：由题意，得F1(－，0)，F2(，0)．设M(x，y)，则·＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝0，整理得x2＋y2＝3①.又因为点M在椭圆上，故＋y2＝1，即y2＝1－②.将②代入①，得x2＝2，解得x＝±.故点M到y轴的距离为.答案：3．

2、方程为＋＝1(a>b>0)的椭圆的左顶点为A，左、右焦点分别为F1、F2，D是它短轴上的一个端点，若3＝＋2，则该椭圆的离心率为解析：设点D(0，b),则＝(－c，－b)，＝(－a，－b)，＝(c，－b)，由3＝＋2得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝.答案：4．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左顶点为A，左焦点为F，上顶点为B，若∠BAO＋∠BFO＝90°，则椭圆的离心率是________．解析：∵∠BAO＋∠BFO＝90°，∴∠BAO＝∠FBO.∴＝.即OB2＝OA·OF，∴b2＝ac.∴a2－c2－ac＝0.∴e2＋e－1＝0.∴e＝＝.又

3、∵0

4、PM

5、＋

6、PF1

7、的最大值为________．解析：由椭圆定义知

8、PM

9、＋

10、PF1

11、＝

12、PM

13、＋2×5－

14、PF2

15、，而

16、PM

17、－

18、PF2

19、≤

20、MF2

21、＝5，所以

22、PM

23、＋

24、PF1

25、≤2×5＋5＝15.答案：156．设F1，F2分别为椭圆＋y2＝1的左、右焦点，点A，B在椭圆上，若＝5，则点A的坐标是________．解析：根据题意设A点坐标为(m，n)，B点坐标为(c，d)．F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，其坐标分别为(－，0)、(，0)，可得＝(m＋，n)＝

26、(c－，d)．∵＝5，∴c＝，d＝.∵点A、B都在椭圆上，∴＋n2＝1，＋()2＝1.解得m＝0，n＝±1，故点A坐标为(0，±1)．答案：(0，±1)7．椭圆＋＝1的左焦点为F，直线x＝m与椭圆相交于A、B.当△FAB的周长最大时，△FAB的面积是__________．解析：如图，当直线过右焦点时周长最大(不过焦点时，可用斜边大于直角边排除)，F(－1,0)，则由得y＝±，∴S＝×2＝3.答案：3[来源:学#科#网Z#X#X#K]8．若以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形面积的最大值为1，则椭圆长轴的最小值为解析：设椭圆＋＝1(a＞b＞0)，则使三角形面积最大时，三角形在椭圆上

27、的顶点为椭圆短轴端点，∴S＝×2c×b＝bc＝1≤＝.∴a2≥2.∴a≥.∴长轴长2a≥2。答案：29．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M(在x轴上方)向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥OM.①求椭圆的离心率e；②设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，求cos∠F1QF2的取值范围．解　①∵F1(－c,0)，则xM＝－c，yM＝，∴kOM＝－.∵kAB＝－，OM∥AB，∴－＝－，∴b＝c，故e＝＝.②设

28、F1Q

29、＝r1，

30、F2Q

31、＝r2，∠F1QF2＝θ，∴r1＋r2＝2a，

32、F1F2

33、＝2c，．10．设椭圆C：＋＝1

34、(a>b>0)的离心率e＝，点A是椭圆上的一点，且点A到椭圆C两焦点的距离之和为4.①求椭圆C的方程；②椭圆C上一动点P(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为P1(x1，y1)，求3x1－4y1的取值范围．解　①依题意知，2a＝4，∴a＝2.∵e＝＝，∴c＝，b＝＝.∴所求椭圆C的方程为＋＝1.②∵点P(x0，y0)关于直线y＝2x的对称点为P1(x1，y1)，∴解得：x1＝，y1＝.∴3x1－4y1＝－5x0.∵点P(x0，y0)在椭圆C：＋＝1上，∴－2≤x0≤2，则－10≤－5x0≤10.∴3x1－4y1的取值范围为[－10,10]．