奥数：第04讲 整数问题第05讲

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1、第04讲整数问题第05讲不定方程与整数分拆例1甲级铅笔7分钱一支，乙级铅笔3分钱一支．张明用5角钱恰好可以买这两种不同的铅笔共多少支?答案10支或14支．分析本题给出了甲级铅笔和乙级铅笔的单价，问题的关键是买这两钟铅笔要恰好用完用来买这两种铅笔的总的钱数，即5角钱．题目要求的是铅笔的总数，但我们并不能直接求出这个总数．于是要先求出甲乙两种铅笔分别买多少支，然后相加得出总支数．详解设买甲级铅笔x支，乙级铅笔Y支．由题意7x+3y=50，知7x≤50；又因为x为非负整数，所以x=0、1、2、3、4、5、6、7．但注意到y也应为非负整数，将x的所有可能取值逐一

2、代人方程，可得两组解：x=2、y=12，或x=5、y=5．由此可得所买铅笔总数为2+12=14(支)，或5+5=10(支)．评注本题实际上是一个二元一次不定方程的问题．题目要求的是铅笔的总数．我们首先将问题转化为求两种铅笔分别买多少支，从而列出不定方程．对于不定方程的求解，本题也具有一般性，即我们首先确定出系数较大的那个未知数的取值范围，再利用整除关系求出最终的解．例2有43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同，每个同学都把身上的全部钱各自买了画片．画片只有两种：3分一张的和5分一张的．每人都尽可能地多买5分一张的画片．问他们能买的3分画片

3、的总数是多少张?答案84张．分析本题要求的是这43位同学所买的3分画片的总数．如果直接去求每个同学所买的3分画片，然后相加无疑是相当烦琐的，所以要寻求其中的规律．注意到如果两个同学身上的钱数相差5的倍数,那么钱数较多的那个同学可以将多出的那部分钱全买成5分画片，这样这两位同学最终所买的3分的画片数是相同的．因此只要求出身上带着8分、9分、10分、11分、12分这5位同学所买的3分画片数，就可以知道其他同学所买的3分画片数了，然后相加可以求出总数．详解对于身上带着8分、9分、10分、11分、12分的这5位同学，8=5+3，9=3+3+3，10=5+5，11

4、=5+3+3，12=3+3+3+3，即他们所买的3分画片的数量分别为1张、3张、0张、2张、4张．将这43位同学按身上所带的钱数由小到大每5个同学分为一组，共8组剩3位同学．这8组的每一组的5位同学所买的3分画片的总数都是1+3+0+2+4=10(张)；而剩下的那3位同学身上所带钱数分别为48分、49分、50分，他们所买的3分画片数分别与身上带8分、9分、10分的同学所买的画片数相同，即1张、3张和0张．综上所述，这43位同学共买了3分画片的总数为10×8+1+3+0=84(张)．评注归根结底，本题也是一道不定方程问题．但是如果我们不根据题目的条件进行仔

5、细分析，就很难找到解决问题的窍门．而本题的关键条件是每位同学都尽可能多地去买5分画片，我们正是从这一点入手解决问题的．例3有三堆砝码，第一堆中每个砝码重3克，第二堆中每个砝码重5克，第三堆中每个砝码重7克．现在要取出最少个数的砝码，使它们的总重量为130克，那么共需要多少个砝码?其中3克、5克和7克的砝码各有多少个?·答案20个．分析题目要求取出的砝码总重量为130克，并且要取出最少个数的砝码，而砝码的单个重量有3克、5克和7克3种，直观上我们要尽可能多地取7克的砝码．详解设取出的3克、5克和7克的砝码分别为a个，b个和c个，由题意列出方程如下：因a、b

6、均非负，故7c≤130；再注意到c为整数，故c≤18．将c=18代入方程得3a+5b=4，无非负整数解．将c=17代入方程得3a+5b=11，解得a=2、b=1，于是a+b+c=2+1+17=20(个)．将c=16和15分别代入方程可解得a=1、b=3和a=0、b=5．对于c=16，我们有a+b+c=1+3+16=20(个)；对于c=15，我们有a＋b+c=0+5+15=20(个)．当c<15时，3a+5b+5c=130－2c>130－2×15=100，于是5(a+b+c)>100，即：a+b+c>20．综上所述，共需砝码20个，其中3克、5克和7克的砝

7、码分别有2个、1个和17个，或1个、3个和16个，或0个、5个和15个．评注本题是一个三元一次不定方程问题．列方程并没有什么特别的困难，但是求解比二元一次不定方程要复杂．就本题而言，由于题目要求三个未知数之和尽可能小，这使我们可以将c的取值从小大到逐一代入方程验证，从而很快求出问题的解．但值得注意的是，即便是这样，题目的第二问的答案仍不是惟一的．例4有纸币60张，其中1分、1角、1元和10元各有若干张．问这些纸币的总面值能否恰好是100元?答案不能．分析本题条件告诉我们纸币的张数为60张，而问的是这些纸币能否恰好是100元．我们自然想到设出每种纸币的张数

8、，用方程来解决这一问题．详解设1分、1角、1元和10元纸币分别有a张、b张、c张