奥数：小学奥数系列：第05讲 整数问题第6讲

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1、第05讲整数问题第6讲数论综合之一例1如果把任意n个连续自然数相乘，其积的个位数字只有两种可能．那么n是多少?答案n=4．分析本题是考察n个连续自然数相乘，其积的个位数字的可能性．问题的关键在于这n个自然数是连续的，因此只要n大于或等于2，这n个自然数中就一定有偶数．另一方面，只要n大于或等于5，这n个自然数中就至少有一个数的个位数字是0或5．由此我们发现，如果n大于或等于5，那么这几个连续自然数之和的个位数字只能是0这一种可能．于是我们只需对n为2、3、4这三种取值逐一分析，即可得出答案．详解根据上述分析，知道n一定小于5．若，n=2，则1×2=2，2×3=6，4×5=20……因此2个

2、连续自然数之积的个位数字至少也有三种可能，不合题意．若n=3，则1×2×3=6，2×3×4=24，3×4×5=60，因此，三个连续自然数之积的个位数字也至少有三种可能，不合题意．若n=4，则连续的4个自然数除以5的余数分别为0、1、2、3，或1、2、3、4或2、3、4、0或3、4、0、1或4、0、1、2，那么它们的乘积被5除的余数只能是即有0与4两种可能．又因为乘积是偶数，故其个位数字只有0、4．因此4个连接自然数之积的个位数字只有0或4两种可能．例2如果某整数同时具备如下三条性质：①这个数与1的差是质数，②这个数除以2所得的商也是质数，③这个数除以9所得的余数是5，那么我们称这个整数为

3、幸运数．求出所有的两位幸运数．答案14．分析题目给出了所谓幸运数具备的三个条件．①幸运数一定是某个质数加1得到的．②幸运数一定是某个质数的两倍．③幸运数一定是9的某一个倍数加5．题目要求的是所有的两位幸运数．这本身就使我们的求解范围缩小在两位数之内．先从条件②入手，再利用条件①和③，最终求出所有的两位幸运数．详解设所求的幸运数是质数P的两倍，即此幸运数为2P，则P的所有可能取值为5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47．于是2P－1的所有可能取值为9、13、21、25、33、37、45、57、6、1、73、81、85、93．根据题目条件①，2p一1应为质数

4、，因此2p－1只可能为13、37、61或73．再由条件③知2p－1除以9所得余数应为4，于是2P－1只能等于13，从而这个幸运数只能是2P=14．评注本题采用的办法是穷举法．一般地，如果问题的答案只有有限多种可能性，并且数量较少，我们都可用穷举法：先列举出所有可能的解，逐步排除，最终得出答案．例3从一张2002毫米长、847毫米宽的长方形纸片上剪下一个边长尽可能大的正方形，如果剩下的部分不是正方形，那么在剩下的纸片上再剪下一个边长尽可能大的正方形．按照上面的过程不断地重复，最后剪得正方形的边长是多少毫米?答案77毫米．分析乍一看好像无从下手，但是我们只要按照题目的条件剪几个正方形之后便可

5、发现其中的规律．首先，原来的长方形长为2002毫米，宽为847毫米，因此第一个剪下的正方形边长应为847毫米，而剩下的长方形长为2002－847=1155毫米，宽仍为847毫米．按照题目的要求，第二次剪下的正方形边长仍为847毫米，但是此时剩下的长方形的长和宽均发生了变化，其长变为847毫米，而宽为1155－847=308毫米．其次，对于这个数的长方形，我们按照题目的要求再逐个剪去相应的正方形……依次类推，直至进行若干次这样的操作后剩下的长方形恰好是宽的倍数，此时只需一个一个地剪下以宽为边长的正方形，恰好将纸片分割完．详解从长2002毫米、宽847毫米的长方形纸板上首先可剪下边长为847

6、毫米的正方形，这样的正方形的个数恰好是2002除以847所得的商，而余数恰好是剩下的长方形的宽．于是有由上述一系列带余除法算式不难看出，最后剪得的正方形的边长为77毫米．评注本题的求解过程其实是求2002与847的最大公约数的过程．上述的计算过程称为辗转相除法，也称欧几里德算法．‘例4把26、33、34、35、63、85、91、143分成若干组，要求每一组中任意两个数的最大公约数为1．那么最少要分几组?答案3组．分析本题是一道关于最大公约数的问题．我们知道两个数的最大公约数为1，即互质相当于它们的质因数分解式中没有相同的质因数．这就提示我们将题目所给的数字质因数分解．详解将题目中的数字质

7、因数分解如下：26=2×13，33=3×11，34=2×17，35=5×7，63=32×7，85=5×17，91=7×13，143=11×13．由于题目要求将这些数字分组，满足每组中任意两个数的最大公约数为1，而26、91、143均含质因数13，因此它们两两不在同一组，于是这些数至少应分为3组．我们这里推出一种分法：将26、35分为一组，91、34、33分为一组，而143、63、85分为一组．评注对于涉及到最大公约数的问题，通常将数