1.3 函数的基本性质

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1、精品1.3函数的基本性质学习目标:(1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性),能应用函数的基本性质解决一些问题。(2)从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.(3)了解奇偶性的概念,回会利用定义判断简单函数的奇偶性。重点与难点:(1)判断或证明函数的单调性;(2)奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。学习过程一、函数的单调性与最大(小)值1.单调函数的定义(1)增函数:一般地,设函数的定义域为:如果对于属于内某个区间上的任意两个自变量的值、

2、,当时都有,那么就说在这个区间上是增函数。(2)减函数:如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值、,当时都有,那么就说在这个区间上是减函数。(3)单调性:如果函数在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做的单调区间。2、单调性的判定方法(1)定义法:判断下列函数的单调区间:(2)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。(3)复合函数的单调性的判断:设,,,都是单调函数,则在上也是单调函数。①若是上的增函数,则与定义在上的函数的单调性相

3、同。②若是上的减函数,则与定义在上的函数的单调性相同。即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”)练习:(1)函数的单调递减区间是,单调递增区间为.(2)的单调递增区间为.精品3、函数单调性应注意的问题:①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性.②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数

4、).③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上是增(或减)函数4.例题分析证明:函数在上是减函数。证明:设任意,∈(0,+∞)且,则,由,∈(0,+∞),得,又,得,∴,即所以,在上是减函数。说明:一个函数的两个单调区间是不可以取其并集,比如:不能说是原函数的单调递减区间;练习:1..根据单调函数的定义,判断函数的单调性。2.根据单调函数的定义,判断函数的单调性。二、函数的奇偶性1.奇偶性的定义:(1)偶函数:一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做偶函数。

5、例如:函数,等都是偶函数。(2)奇函数:一般地,如果对于函数的定义域内任意一个,都有,那么函数就叫做奇函数。例如:函数,都是奇函数。(3)奇偶性:如果函数是奇函数或偶函数,那么我们就说函数具有奇偶性。说明:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数:(1)其定义域关于原点对称;(2)或必有一成立。因此,判断某一函数的奇偶性时,首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算,看是等于还是等于,然后下结论;若定义域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。精品(3)无奇偶性的函数是非奇非偶函数。(4)函数既是奇函数也是

6、偶函数,因为其定义域关于原点对称且既满足也满足。(5)一般的,奇函数的图象关于原点对称,反过来,如果一个函数的图象关于原点对称,那么这个函数是奇函数。偶函数的图象关于轴对称,反过来,如果一个函数的图形关于轴对称,那么这个函数是偶函数。(6)奇函数若在时有定义,则.2、函数的奇偶性判定方法(1)定义法(2)图像法(3)性质罚3.例题分析:判断下列函数的奇偶性:(1)()(2)()说明:在判断与的关系时,可以从开始化简;也可以去考虑或;当不等于0时也可以考虑与1或的关系。五.小结:1.函数奇偶性的定义;2.判断函

7、数奇偶性的方法;3.特别要注意判断函数奇偶性时,一定要首先看其定义域是否关于原点对称,否则将会导致结论错误或做无用功。

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