奥数：第十五讲 综合题选讲

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1、第十五讲综合题选讲　　小学数学竞赛综合题，主要包括以下几个方面：　　①逻辑关系较复杂的问题；　　②数与形相结合的问题；　　③较复杂的应用题；　　④较灵活的组合、搭配问题；　　⑤与“最多”、“最少”有关的问题。　　解答小学数学竞赛的综合题，首先要能熟练、正确解答有关的基本题，同时要认真读题，准确理解题意，在分析题目条件，设计解题程序上下功夫。例1一个正方体的八个顶点处分别标上1、2、3、4、5、6、7、8.再把各棱两端上所标的二数之和写在这条棱的中点，问：在棱的中点最少能标出几种数值？分析对于1、2、3、4、5、6、7、8这些数中两两之和，有下列情形：　　有4种形成9的和：1+

2、8=2+7=3+6=4+5；　　有3种形成8的和：1+7=2+6=3+5；　　有3种形成10的和：2+8=3+7=4+6；　　有3种形成7的和：1+6=2+5=3+4；　　有3种形成11的和：3+8=4+7=5+6；　　有2种形成6的和：1+5=2+4；　　有2种形成5的和：1+4=2+3；　　有2种形成12的和：4+8=5+7；　　有2种形成13的和：5+8=6+7；　　此外还有1+2=3，1+3=4，6+8=14，7+8=15各一种。　　首先指出棱的中点处不可能仅出现3种数，理由是：3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15中的数，如果只用其中3个数（

3、标在棱的中点处），那么这三个数不能写成共12种不同形式的（取自于1、2、…、8之中的两数）和，而正方体棱数有12个。　　再说明，棱的中点处不可能只标有4种不同数值，为证明这一点，可以分下列情况说明。　　如果在12条棱上有3个“7”、3个“8”、3个“10”、3个“11”，那么在正方体顶点处要出现4次“6”进行运算.这是不可能.因为每个顶点处的数只参加3次加法运算。　　如果在12条棱上有3个“9”，此外，必定还有7、8、10、11中的某三个数字（各三次），那么棱上数之和只能是　　（9+7+8+10）×3=102，　　（9+8+10+11）×3=114，　　（9+7+10+11）

4、×3=111，　　（9+7+8+11）×3=105。　　它们都与棱上所有数之和应当是（1+2+…+8）×3=108矛盾.这说明棱上的数不可能是3个“9”以及7、8、10、11中某3个各出现3次。　　如果在12条棱的中点出现4个“9”以及另外三种数，那么另外三种数应各出现3、3、2次.出现3次的只能是7、8、10、11中的两个.出现两次的则是5、6、12、13中的一个或者是7、8、10、11中未被用了3次的两个中的一个.设出现两次的棱的中点数为a，出现3次的为b或c，则因为　　4×9+3×（b+c）+2a=108，　　所以b+c必须为偶数.在7、8、10、11中取两数b、c，使

5、其和为偶数，只有7、11及8、10这两种可能.无论哪种情形，都有b+c=18，因此2a=108-36-3×18=18，a=9.与12条棱有4个9矛盾.这说明上述情况不能出现。　　综上所述，棱中点不可能仅有四种不同数。　　棱中点可以有五种不同数值，这可由右图看出：棱中点共出现4个“9”、3个“10”、3个“8”、1个“6”、1个“12”。　　这说明棱的中点最少能标出5种不同数值。例2一组互不相同的自然数，其中最小的是1，最大的是25，除去1之外，这组数中的任一个数或者等于这组数中某一个数的2倍，或者等于另外两个数之和.在满足要求的所有可能的数组中，寻找出使得组内各数之和最大及最

6、小的数组，并求这组数之和的最大值、最小值。分析很自然猜想并容易验证数组1，2，3，…，24，25符合题目要求，显然这个数组的和是最大的，这个最大的和是1+2+3+…+24+25=325。　　困难在于搜寻最小的数组。　　把数组中的数由小到大排起来，容易看出：　　1后边的数一定是2；2后边可以是3，也可以是4；3后边可能是4、5、6；4后边可能是5、6、8.把它们列出来就是　　1，2，3，4，…，25；　　1，2，3，5，…，25；　　1，2，3，6，…，25；　　1，2，4，5，…，25；　　1，2，4，6，…，25；　　1，2，4，8，…，25。　　25是奇数，它只能是另外两

7、个数之和，容易验证在上述数列的“…”处不能只加入一个数，也就是说，在上述六种数列的每个“…”中，至少要再加入两个数.而且，还推知后加入的数中至少有两个数，这两个数的和不小于25.理由是，如果后加入的任意两个数之和都小于25，那么就不可能得到最后的25这个数。　　根据以上理由，我们应当先考虑1，2，3，4，…，25这一列数.看看是否能只加入两个数，且加入的两个数之和是25。　　25=5+20=6+19=7+18=8+17=9+16　　=10+15=11+14=12+13。　　在1，2，3，4，…，25中的