奥数:第十五讲综合题选讲

奥数:第十五讲综合题选讲

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1、第十五讲综合题选讲  在数学竞赛试题中渗透数学思想、方法、观念,有时还通过试题介绍或渗透某种新知识,这是数学竞赛的发展趋势.因此必须加强思维能力的训练,培养学生严谨的逻辑推理能力,灵活的技巧方法,并且通过解题培养创造性。例1如右图,我们规定在边长为1的正方形方格纸上,从格点O到与它相邻的格点A、B、C、D、E、F、G、H的共有8种直线运动形成线段,这8种运动依次分别记为数码0、1、2、3、4、5、6、7.例如以O为始点,数码2代表形成线段OC的运动,数码7代表形成线段OH的运动等等。  在图(a)中画出了从P点出发,数码序列0

2、01223355的轨迹图形。请你在图(b)的边长为1的正方形方格纸上,从点M出发.依次按数码序列006756442312画出相应的轨迹图形.以这轨线图形周界和内部的格点为顶点可画出而积不小于2的正方形一共有多少?  分析此题关键是看懂题目,即线段分别记为数码0、1、2、3、4、5、6、7的意义.如右图:  数码0代表线段OA.  数码1代表线段OB。  数码2代表线段OC。  数码3代表线段OD。  数码4代表线段OE。  数码5代表线段OF。  数码6代表线段OG。  数码7代表线段OH。  这样,006756442312所

3、对应的轨迹图形为封闭折线,为清楚起见标上字母,即为S=MM1M2M3M4M5M6M7M8M9M10M11M,如右图。  因为在S边界上有12个格点(M,M1~M11),内部有5个格点,为N1、N2、N3、N4、N5.这17个点中可形成面积大于等于2的正方形顶点的四点组共有13个。分类①面积为2的共有5个:  (M1M3N3M11),  (M3M4M5M3),  (M5M7M9N3),  (M9N3M11M10),  (N1N2N5N4)。  ②面积为4的共有3个:  (MM2N4N2),  (M3M5M9M11),  (N4M

4、6M8N2)。  ③面积为5的共有4个:  (MM3N5M10),  (M2M11N5M4),  (N1M10M8M5),  (N1M9M6M4)。  ④面积为8的共有1个:  (M1M10M7M4)。例2一个自然数若能表示为两个自然数的平方差,则称这个自然数为“智慧数”.比如16=52-32,16就是一个“智慧数”.在自然数列中从1开始数起,试问第1993个“智慧数”是哪个数?并请说明理由?  分析与解答  ∵1不能表示为两个自然数平方差,  ∴1不是“智慧数”。  ①对于大于1的奇数2k+1,  有2k+1=(k+1)2-

5、k2(k=1,2,3,…),  ∴大于1的奇数都是“智慧数”。  ②对于大于4且被4整除的偶数4k,  有4k=(k+1)2-(k-1)2(k=2,3,…),  即大于4的被4整除的数都是“智慧数”.  而4不能表示为两个自然数的平方差,  ∴4不是“智慧数”。  ③对于被4除余2的数4k+2(k=0,1,…)  设4k+2=x2-y2=(x+y)(x-y),x、y∈N。  当x、y奇偶性相同时,(x+y)(x-y)被4整除,而4k+2不被4整除,矛盾。  当x、y奇偶性相异时,(x+y)(x-y)为奇数,而4k+2为偶数,又

6、矛盾。  ∴不存在x、y∈N,使得x2-y2=4k+2,即4h+2形的数均不为“智慧数”。  在自然数列中前四个自然数中,只有3=22-12为“智慧数”。  由①②③知,从5开始的每连续四个数中有三个“智慧数”,故四个数为一个周期。  ∵1992=3×664,  ∴从5开始有664个周期,  再加上1,2,3,4便共有665个周期,  而4×665=2660,  因此,第1993个“智慧数”是2660。例3有一列数:1,3,4,7,11,18,…(从第3个数起,每个数恰好是它前面相邻两个数的和)。  ①求第1993个数被6除余

7、几?  ②把以上数列按下述方法分组(1),(3,4),(7,11,18),…(第n组含有n个数).问第1991组的各数之和被6除余数是几?  分析①如果能求出这个数列第1993个数是多少,当然它被6除余数就很好求了.但是,观察数列的构造规律,很难找出求某一项的一般公式.而数列的前几项是已知的,它们被6除余数很容易写出来,再根据“两个数之和被6除的余数,等于这两个数被6除余数之和被6除的余数”就不难依次写出原数列被6除所得余数组成的数列.我们再观察“余数数列”的构成规律:  1,3,4,1,5,0,5,5,4,3,1,4,5,3

8、,2,5,1,0,1,1,2,3,5,2,1,3,4,1,…  只要出现有相邻两个数与前面某相邻的两个数相同且顺序也相同,以后就会依次出现前面同样的一个“片段”,就是说出现“周期”性变化.经过观察、分析,发现“余数数列”每24个数呈现周期性重复:  1,3,4,1,5,…,2

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