lt99313 正餘弦定理.doc

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1、21lt99313正弦定理與餘弦定理lt99313正弦定理與餘弦定理任一個三角形皆由三個邊和三個角所構成﹐這些邊與角之間有許多重要的關係﹒例如當伸直右手的食指與拇指時﹐由虎口張開的角度與兩手指的長度就可算出兩指尖的距離﹒本節所要介紹的正弦定理與餘弦定理﹐就是用來處理任意三角形邊角關係的兩大工具﹒甲、三角形面積公式在計算三角形面積時﹐我們通常會使用三角形面積=（底高）這個公式﹒但是﹐如果只知道三角形的兩邊及夾角﹐三角形的面積可以有不同的計算方法﹒為了方便起見﹐如圖2所示﹐在△中﹐我們通常以符號分別表的對邊長﹒圖3是根據△的為銳角、直

2、角或鈍角三種情形﹐討論邊上的高的長度：(1)為銳角(2)為直角(3)為鈍角▲圖3從圖3得知﹐高都等於﹒因此﹐△的面積可表為△的面積=（底高）=﹒高中數學虛擬教室http://114.34.204.8721lt99313正弦定理與餘弦定理同樣的方法可以證得△的面積=﹒因此我們得到如下的三角形面積公式：三角形面積公式：若a﹐b和c分別表三內角ÐA﹐ÐB和ÐC的對邊長﹐則△的面積=﹒有了面積公式之後﹐只要知道三角形「兩邊的邊長」及其「夾角的度數」﹐便可以算出此三角形的面積﹒【例題1】在△中﹐已知=8﹐=10﹐且ÐC=30°﹐求△的面積﹒

3、Ans：20【詳解】利用面積公式△ABC=﹐得△的面積°=20﹒【隨堂練習1】求下列△的面積：(1)﹐﹐﹒(2)﹐﹐﹒Ans：(1)，(2)6【詳解】(1)利用三角形面積公式﹐得面積﹒(2)如圖﹐﹐面積.高中數學虛擬教室http://114.34.204.8721lt99313正弦定理與餘弦定理【例題2】在△中﹐已知﹐﹐的內角平分線交於D﹐(1)求面積比:﹒(2)已知ÐBAC=120°﹐求長﹒Ans：(1)5：4，(2)【詳解】(1)設﹐由三角形面積公式﹐得﹐﹐因此=5:4﹒(2)ÐBAC=120°﹐故﹐因為面積面積﹐所以﹐得﹒【

4、隨堂練習2】在△中﹐已知﹐﹐ÐA=90°﹐且的內角平分線交於D﹒求長﹒Ans：【詳解】高中數學虛擬教室http://114.34.204.8721lt99313正弦定理與餘弦定理因為所以面積面積﹐即﹐得.高中數學虛擬教室http://114.34.204.8721lt99313正弦定理與餘弦定理乙、正弦定理將三角形面積公式同時除以﹐得﹐即﹒事實上﹐上述這個比值恰好等於△外接圓的直徑﹒正弦定理：若a﹐b和c分別表△三內角ÐA﹐ÐB和ÐC的對邊長﹐而△的外接圓半徑為R﹐則﹒在此只需驗證等式成立即可﹒【證明】不論△為銳角、鈍角或直角三角

5、形﹐三個角中至少有一個銳角﹐不妨設ÐA為銳角﹒過B點作直徑並連接﹐如圖4所示﹒銳角三角形鈍角三角形直角三角形▲圖4因為為直徑﹐所以△為直角三角形﹐﹒又因為ÐA=ÐD（同弧所對的圓周角相等）﹐所以﹒故得證﹒正弦定理告訴我們﹐三角形的三邊邊長比與其對應之三內角正弦函數值的比相等﹐即高中數學虛擬教室http://114.34.204.8721lt99313正弦定理與餘弦定理=﹒【例題3】在△ABC中﹐已知ÐA:ÐB:ÐC=1:4:1﹐求﹒Ans：【詳解】因為△ABC三內角和為180°﹐所以﹐ÐB=﹐ÐC=﹒利用正弦定理﹐得====﹒【隨

6、堂練習3】在△ABC中﹐已知=5:6:7﹐求sinA:sinB:sinC﹒Ans：【詳解】因為﹐所以可設由得﹐即將得﹐將得﹐將得﹒利用正弦定理﹐得根據正弦定理﹐只要知道三角形的某邊長及其對角的度數﹐就可以求出此三角形的外接圓半徑﹒高中數學虛擬教室http://114.34.204.8721lt99313正弦定理與餘弦定理【例題4】在△ABC中﹐已知ÐA=﹐ÐB=﹐﹐求(1)長與長﹒（）(2)△ABC外接圓半徑﹒Ans：(1)，，(2)1【詳解】(1)利用正弦定理﹐得﹐故﹐﹒(2)由﹐得△ABC外接圓半徑R=1﹒【隨堂練習4】在△A

7、BC中﹐已知ÐA=30°﹐ÐC=45°﹐﹐求(1)長﹒(2)△ABC的外接圓半徑﹒Ans：(1)，(2)【詳解】(1)因為﹐利用正弦定理﹐得﹐故﹒(2)﹐即外接圓半徑為.高中數學虛擬教室http://114.34.204.8721lt99313正弦定理與餘弦定理高中數學虛擬教室http://114.34.204.8721lt99313正弦定理與餘弦定理丙、餘弦定理在已知三角形的兩邊長及其夾角或三邊長的情形下﹐我們通常無法利用正弦定理直接求出其他的邊和角﹐但可藉助底下所介紹的餘弦定理來求得﹒餘弦定理：若a﹐b和c分別表△ABC三內角

8、ÐA﹐ÐB和ÐC的對邊長﹐則﹐﹐﹒【證明】證明：將△ABC放在坐標平面上﹐使A為原點﹐B點在軸正向上﹒因為=c﹐所以B點坐標為﹒C為ÐA終邊上一點且﹐依廣義角三角函數的定義﹐不論為銳角、直角或鈍角﹐C的坐標都可以寫成﹒如圖5所示﹒(1)為銳角(2)