第1章 误差分析.doc

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1、第1章误差分析利用计算机进行数值计算几乎全都是近似计算：计算机所能表示的数的个数是有限的，我们需要用到的数的个数是无限的，所以在绝大多数情况下，计算机不可能进行绝对精确的计算。定义：设x*为某个量的真值，x为x*的近似值，称x*-x为近似值x的误差，通常记为e(x)，以表明它是与x有关的量。与误差作斗争是时计算方法研究的永恒的主体，由于时间和经验的关系，我们仅对这方面的只是做一个最基本的介绍。1.1误差的来源误差的来源是多方面的，但主要来源为：描述误差，观测误差，截断误差和舍入误差。1描述误差为了便于数学分析和数值计算，人们对实

2、际问题的数学描述通常只反映出主要因素之间的数量关系，而忽略次要因素的作用,由此产生的误差称为描述误差。对实际问题进行数学描述通常称为是建立数学模型，所以描述误差也称为是模型误差。2观测误差描述实际问题或实际系统的数学模型中的某些参数往往是通过实验观测得到的。由试验得到的数据与实际数据之间的误差称为观测误差。比如我们用仪表测量电压、电流、压力、温度时，指针通常会落在两个刻度之间，读数的最后一位只能是估计值，从而也产生了观测误差。3.舍入误差几乎所有的计算工具，当然也包括电子计算机，都只能用一定数位的小数来近似地表示数位较多或无限的

3、小数，由此产生的误差称为舍入误差。4.截断误差假如真值x*为近似值系列{xn}的极限,由于计算机只能执行有限步的计算过程，所以我们只能选取某个xN作为x*的近似值，由此产生的误差称为截断误差。我们可以通过函数的泰勒展式来理解截断误差：设f(x)可以在x=x0处展开为泰勒级数，记fN(x)为前N+1项的和，RN(x)为余项，如果用fN(x)近似表示f(x)，则RN(x)就是截断误差。提示：在我们的课程中，重点是考虑尽可能减小截断误差，尽可能消除舍入误差的副作用。1.2误差基本概念1.绝对误差与相对误差定义：设x*为某个量的真值，x

4、为x*的近似值，我们称

5、x*-x

6、为近似值x的绝对误差；称

7、x*-x

8、/

9、x*

10、为近似值x的相对误差。注释：我们在实际进行误差分析时，所讨论的误差几乎全都是绝对误差，所以在口语中，我们也把绝对误差简称为误差。提示：在实际应用中，我们通常是用

11、x*-x

12、/

13、x

14、来表示x的相对误差，这样会使得有关的计算和理论分析更简单一些。2误差限的概念由于在绝大多数情况下我们无法确定出真值x*，所以近似值x的误差、相对误差、以及绝对误差也都是无法确定的，但是我们总有办法估计出它们的范围。这就是误差限的概念。定义设x为真值x*的近似值:若e>0满足

15、条件

16、x*-x

17、≤e,则称e为x的绝对误差限（或误差限）；若er>0满足条件

18、x*-x

19、/

20、x

21、≤er,则称er为x的相对误差限.提示：由绝对误差限和相对误差限的定义可知，它们满足关系e=er·

22、x

23、,所以只要知道其中的任意一个，即可求出另外一个。3．数的近似表示若x为真值x的近似值，且误差限为e,那么我们可以把真值x表示为x*=x±e提示：若x为真值x*的近似值，且误差限为e,那么我们有x-e≤x*≤x+e.1.3有效数字1．有效数字的概念定义：如果真值x*的近似值x的绝对误差限是它的某一个数位的半个单位，则称近似值x准确到这

24、一位，且这一位一直到最左边第一个非零数字为止的所有数字都称为有效数字，有效数字的个数称为有效数字的位数。记号：若近似值x有p位有效数字，那么我们可以把x表示为x=±0.x1x2…xp×10n其中x1,x2,…,xp∈{0,1,…,9},且x1≠0.提示：我们在书写近似数的时候，不要忽略了小数点右边最后面的零，例如，0.6,0.60,0.600所表示的数是相同的，但隐含说明了有效数字的位数是不同的。2.四舍五入法若x*的近似值为x=±0.x1x2…xm×10n其中x1,x2,…,xm∈{0,1,…,9},且x1≠0.如果要保留x有

25、p(1≤p≤m)位有效数字，即（

26、x*-x

27、≤0.5×10n-p）,那么我们可以把x的小数点后的第p+1位四舍五入，称为使x保留p位有效数字。3．根据有效数字估算相对误差限若x*的近似值x有p位有效数字，那么我们有由此不难得到为了得到与具体的数无关的相对误差限的表达形式，我们可以把x1取为最小值1，从而有4.根据相对误差限估算有效数字位数注释：实际中几乎不会有这种类型的问题，为了完整性，所以做一个简单的提示。若近似值的相对误差限满足则x至少有p位有效数字1.4利用微分进行误差估计数值计算可理解为求某个函数y=f(x)的值，假如输

28、入值x没有误差，那么输出值y仅含舍入误差和截断误差,它们不会影响结果的有效性；如果x是真值x*与一个误差项Δx之和，那么那么输出值y与真值y*之间的误差Δy主要是由Δx产生的，可以形象地理解为在计算过程中的误差传播。1函数的一阶泰勒展式设f(t)在x*附近处处连