奥数：第十二讲 数阵图

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1、第十二讲数阵图　　把一些数字按照一定的要求，排成各种各样的图形，这类问题叫数阵图.数阵是一种由幻方演变而来的数字图.数阵图的种类繁多，这里只向大家介绍三种数阵图，即封闭型数阵图、辐射型数阵图和复合型数阵图.　　为了让同学们学会解数阵图的分析思考方法，我们举例说明.例1将1～8这八个自然数分别填入下图中的八个○内，使四边形每条边上的三个数之和都等于14，且数字1出现在四边形的一个顶点上.应如何填？　　分析为了叙述方便，先在各圆圈内填上字母，如上图（2）.　　由条件得出以下四个算式：　　a+b+c=14（1）　　c+d+e=14（2）　　e+f+g=14（

2、3）　　a+h+g=14（4）由（1）+（3），得：　　a+b+c+e+f+g=28，　　（a+b+c+d+e+f+g+h）-（d+h）=28，　　d+h=（1+2+3+4+5+6+7+8）-28=8，　　由（2）+（4），同样可得b+f=8，　　又1，2，3，4，5，6，7，8中有1+7=2+6=3+5=8.　　又1要出现在顶点上，d+h与b+f只能有2+6和3+5两种填法.　　又由对称性，不妨设b=2，f=6，d=3，h=5.　　a，c，e，g可取到1，4，7，8　　若a=1，则c=14-（1+2）=11，不在1，　　4，7，8中，不行.　　若c=

3、1，则a=14-（1+2）=11，不行.　　若e=1，则c=14-（1+3）=10，不行.　　若g=1，则a=8，c=4，e=7.　　解：例1为封闭型数阵，由它的分析思考过程可以看出，确定各边顶点所应填的数为封闭型数阵的解题突破口.例2请你把1～7这七个自然数，分别填在下图（1）的圆圈内，使每条直线上的三个数的和都相等.应怎样填？　　分析为叙述方便，先在圆圈中标上字母，如上图（2）.　　设a+b+e=a+c+f=a+d+g=k，　　则（a+b+e）+（a+c+f）+（a+d+g）=3k　　3a+b+c+d+e+f+g=3k　　2a+（a+b+c+d+e

4、+f+g）=3k　　2a+（1+2+3+4+5+6+7）=3k　　2a+28=3k　　a为1、4或7.　　若a=1，则k=10，直线上另外两个数的和为9.在2、3、4、5、6、7中，2+7=3+6=4+5=9，因此得到一个解为：a=1，b=2，c=3，d=4，e=7，f=6，g=5.　　若a=4，则k=12，直线上另外两个数的和为8.在1、2、3、5、6、7中，1+7=2+6=3+5=8，因此得到第二个解为：a=4，b=1，c=2，d=3，e=7，f=6，g=5.　　若a=7，则k=14，直线上另外两个数的和为7.在1、2、3、4、5、6中，1+6=2

5、+5=3+4=7，因此得到第三个解为：a=7，b=1，c=2，d=3，e=6，f=5，g=4.　　解：共得到三个解：如下图.　　例2为辐射型数阵图，填辐射型数阵图的关键在于确定中心数a和每条直线上几个圆圈内数的和k.例3如下图（1）所示，在每个小圆圈内填上一个数，使得每一条直线上的三个数的和都等于大圆圈上三个数的和.　　分析为叙述方便，先在每个圆圈内标上字母，如图（2）.　　则有a+4+9=a+b+c（1）　　b+8+9=a+b+c（2）　　c+17+9=a+b+c（3）　　（1）+（2）+（3）（a+b+c）+56=3（a+b+c）　　a+b+c=2

6、8　　则a=28-（4+9）=15　　b=28-（8+9）=11　　c=28-（17+9）=2　　解：见图.　　　　　例4请你将数字1、2、3、4、5、6、7填在下面图（1）所示的圆圈内，使得每个圆圈上的三个数之和与每条直线上的三个数之和相等.应怎样填？　　分析为了叙述方便，将各圆圈内先填上字母，如图（2）所示.　　设A+B+C=A+F+G=A+D+E　　=B+D+F　　=C+E+G=k　　（A+B+C）+（A+F+G）+（A+D+E）+（B+D+F）　　+（C+E+G）=5k，　　3A+2B+2C+2D+2E+2F+2G=5k，　　2（A+B+C+D

7、+E+F+G）+A=5k，　　2（1+2+3+4+5+6+7）+A=5k，　　56+A=5k.　　因为56+A为5的倍数，得A=4，进而推出k=12.　　因为在1、2、3、5、6、7中，1+5+6=7+3+2=12，不妨设B=1，F=5，D=6，则C=12-（4+1）=7，　　G=12-（4+5）=3，E=12-（4+6）=2.　　解：得到一个基本解为：（见图）　　　　　　　　　例5将1～16分别填入下图（1）中圆圈内，要求每个扇形上四个数之和及中间正方形的四个数之和都为34，图中已填好八个数，请将其余的数填完.　　分析为了叙述方便，将圆圈内先填上字母

8、，如图（2）所示.　　9+15+a+c=34，5+10+e+g=34，　　7+14+b+d=3