第二章 自动控制系统的数学描述.doc

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1、第二章自动控制系统的数学描述一、控制系统的数学模型控制系统的数学模型是描述自动控制系统输入、输出以及内部各变量的静态和动态关系的数学表达式。控制系统的数学模型有多种形式：代数方程、微分方程、传递函数、差分方程、脉冲传递函数、状态方程、方框图、结构图、信号流图和静态/动态关系表等。控制系统的数学模型的求取，可采用解析法或实验法。系统的数学模型关系到整个系统地分析和研究，建立合理的数学模型是分析和研究自动控制系统最重要的基础。1．微分方程用解析法建立系统的微分方程的步骤：1)确定系统的输入、输出变量；2)根据系统的物理、化学等机理，依

2、据列出各元件的输入、输出运动规律的动态方程；3)消去中间变量，写出输入、输出变量的关系的微分方程。2．传递函数1)定义：传递函数是在零初始条件下，系统（或环节）输出量的拉氏变换与输出量的拉氏变换之比。2)性质：a)传递函数是线性系统在复频域里的数学模型；b)传递函数只与系统本身的结构与参数有关，与输入量的大小和性质无关；c)传递函数与微分方程有相通性，两者可以相互转换。3）表达形式设系统的动态方程为一个n阶微分方程则系统的传递函数为:传递函数也可写成分子、分母多项式因式分解的形式，即式中：4）典型环节的传递函数一个自动控制系统，可

3、以认为是由一些典型环节（一些元件和部件）所组成。常见的典型环节及其传递函数有以下几种：a)比例环节：b)积分环节：c)微分环节：理想：实际：d)惯性环节：e)二阶振荡环节：f)迟延环节：3．结构图（又称方框图，方块图）1)结构图的基本形式（见图1.2-1）图1.2—1结构图是反映系统各个元、部件的功能和信号流向的图解表示法，它是一种数学模型。利用结构图可以求出系统的输入对输出的总的传递函数。在图1.2-1中:开环传递函数为：闭环传递函数为：2）结构图的等效变换基本法则：a)串联（如图1.2-2所示）图1.2—2b)并联（如图1.2

4、-3所示）图1.2—3c)反馈联接（如图1.2-1所示）上式分母中的号为：当负反馈时，为“+”号，当正反馈时，为“-”号。4．信号流图信号流图是结构图的一种简易画法，它与结构图在本质上没有什么区别。只是形式上的不同。信号流图中的有关术语：源节点，阱节点，混合节点，前向通路，回路，不接触回路。5．梅逊（Mason）公式应用梅逊公式可以不经任何结构变换，一步写出系统的总的传递函数，所以是一个十分有用的数学工具。梅逊公式如下：式中：