第二章 自动控制系统的数学模型

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1、§2-0问题的提出§2-1控制系统的微分方程§2-2传递函数§2-3传递函数方框图等效变换§2-4典型环节及其传递函数第二章自动控制系统的数学模型ST拉氏变换定理方框图结束方框图练习（10min）一阶惯性环节控制单元执行单元控制对象测量单元p(t)q(t)y(t)b(t)r(t)e(t)+-f(t)y(t)=F(r(t),f(t))为研究系统输出y(t)随时间变化的规律，以及系统的特性，必须研究系统的数学模型。§2-0问题的提出STEND§2-1物理系统的运动方程式一、基本概念：描述物理系统动态特性的数学方程(用数学符号、公式、图表等刻划客观事物的本质属性与内在规律）。微分

2、方程是描述系统动态过程数学模型最基本的方式建模方法：解析法；实验法。任何一个物理系统都可以用一个微分方程进行描述，控制系统也不例外。ST§2-1物理系统的运动方程式STSISO线性定常系统的微分方程一般形式为：式中，c(t)为系统的输出量，r(t)为系统的输入量，a0、a1、…an及b0、b1、…bm均为实数,其数值由系统的结构及参数决定；且n>m(系统正则）。§2-1物理系统的运动方程式二、数学模型的线性化铁心电感线圈中的磁通Φ与电流i的关系如图：所以§2-1物理系统的运动方程式§2-1物理系统的运动方程式线性化增量方程上式表明，经线性化处理后，电流增量与磁链已成为线性关

3、系。将原方程表示成平衡点附近的增量关系：§2-1物理系统的运动方程式上述线性化过程可看到：1、线性化是在输入、输出量围绕平衡点作小范围变化的假设条件下进行的；2、线性化以直线代替曲线略去台劳级数展开中的二阶以上无穷小项，是一种近似处理；3、对一些严重的典型非线性，如继电特性，间隙，摩擦特性等，不能进行求导运算，原则上不能用小偏差法进行线性化。§2-1物理系统的运动方程式ST微分方程举例：解：例1：§2-1物理系统的运动方程式例2.§2-1物理系统的运动方程式例3.§2-1物理系统的运动方程式例4：输入量：电枢电压，输出量：转速，扰动：负载力矩。（1）直流电机微分方程：（2）

4、直流电机增量微分方程组：§2-1物理系统的运动方程式（3）直流电机的微分方程式：式中，§2-1物理系统的运动方程式（1）负载力矩，微分方程式变为：（2）电枢电压不变，负载力矩有变化，微分方程变为：（3）当可以省略，微分方程式变为：(4)对于小型电机，可以忽略，微分方程式变为：§2-1物理系统的运动方程式列写物理系统数学模型的方法：①确定系统的输入量，输出量，有时还有扰动量。②应用各种物理定律列写物理系统的微分方程组。③将微分方程线性化，列出线性的增量微分方程组。④消去中间变量，求得输出与输入之间关系的微分方程式。§2-2传递函数系统的数学模型可以用微分方程表示，但对复杂的微

5、分方程，其求解过于困难，甚至无法求解。为此研究系统的复数模型，即传递函数。为把实数模型转换为复数模型，必须借助拉氏变换，即Laplace变换。ST§2-2传递函数ST拉氏变换及拉氏反变换（laplacetransform)一、拉氏变换定义：时间函数f(t)的拉氏变换其中σ是实变量ω是虚量f(t)称为F(s)的原函数F(s)称为f(t)的象函数二、简单函数的拉氏变换1、单位阶跃函数§2-2传递函数2、(指数函数）3、sinωt和cosωt4、t(斜坡函数）§2-2传递函数5、单位脉冲函数§2-2传递函数三、拉氏变换定理1、线性迭加a、b为常数2、微分定理§2-2传递函数3、积

6、分定理4、衰减定理5、延时定理§2-2传递函数6、初值定理7、终值定理§2-2传递函数四、拉氏反变换（就是由象函数求原函数）§2-2传递函数-zi.为零点，-Pi为极点一般控制系统：分之多项式的根称为零点，分母多项式的根称为极点部分分式法：1、若F(s)的分母多项式有n个单根（n个根互不相等）§2-2传递函数①、n个不同的实根例1解：()[]ttsseeSFLtfssscssscscscsssF21222121212)(123)2(123)1(21231)(----=-=-==-=úûùêëé+++==úûùêëé+++=+++=++=§2-2传递函数②若有共轭复根例2解：

7、§2-2传递函数2、有多重根§2-2传递函数待定系数计算公式如下：§2-2传递函数例2解：§2-2传递函数五、用拉氏变换求解线性定常微分方程（Lineartime-invarintsystem)例：解：将方程两边取拉氏变换，得：将代入，并整理得：将微分方程拉氏变换为S的代数方程求出系统输出的复域解拉氏反变换得系统输出得时域解§2-2传递函数显然用拉氏变换求解系统运动微分方程首先必须求得系统的极点。在无计算机的年代是困难的，但是人类总能找到解决问题的方法。步骤§2-2传递函数作业：2－19：①、②、2－21③传递函数