2019版高考数学一轮复习第2章函数、导数及其应用2.2函数的单调性与最值学案理

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1、2.2　函数的单调性与最值[知识梳理]1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)函数单调性的三种等价形式设任意x1，x2∈[a，b]且x10⇔f(x)在[a，b]上是减函数．②>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．③(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0⇔f(x)在[a，b]上是增函数；(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]<0⇔f(x)在[a，b]上是减函数．

2、注：研究函数单调区间的注意事项(1)单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在不同的区间上，可以有不同的单调性．(2)函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论，所以求函数的单调区间，必须先求函数的定义域．(3)函数的单调性是对某个区间而言的，所以要受到区间的限制．例如函数y＝分别在(－∞，0)，(0，＋∞)内都是单调递减的，但不能说它在整个定义域即(－∞，0)∪(0，＋∞)内单调递减，只能分开写，即函数的单调减区间为(－∞，0)和(0，＋∞)．2．函数的最值函数的最大值对应图象最高点的纵坐标，函数的最小值对应图象最低点的纵

3、坐标．注：(1)函数的值域一定存在，而函数的最值不一定存在．(2)若函数的最值存在，则一定是值域中的元素；若函数的值域是开区间，则函数无最值，若函数的值域是闭区间，则闭区间上的端点值就是函数的最值．[诊断自测]1．概念思辨(1)函数y＝的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)．(　　)(2)设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么f(x)在[a，b]上是增函数⇔>0⇔(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0.(　　)(3)函数y＝f(x)在[0，＋∞)上为增函数，则函数y＝f(x)的增区间为[0，＋∞)．(　　

4、)(4)闭区间上的单调函数，其最值一定在区间端点取到．(　　)答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2．教材衍化(1)(必修A1P39B组T3)下列函数中，在区间(－∞，0)上是减函数的是(　　)A．y＝2xB．y＝logxC．y＝x－1D．y＝x3答案　C解析　函数y＝2x在区间(－∞，0)上是增函数；函数y＝logx在区间(－∞，0)上无意义；函数y＝x－1在区间(－∞，0)上是减函数；函数y＝x3在区间(－∞，0)上是增函数．故选C.(2)(必修A1P45B组T4)已知函数

5、f(x)＝是R上的增函数，则a的取值范围是(　　)A．－3≤a<0B．－3≤a≤－2C．a≤－2D．a<0答案　B解析　∵函数f(x)＝是R上的增函数，设g(x)＝－x2－ax－5(x≤1)，h(x)＝(x>1)，由分段函数的性质可知，函数g(x)＝－x2－ax－5在(－∞，1]单调递增，函数h(x)＝在(1，＋∞)单调递增，且g(1)≤h(1)，∴∴解得－3≤a≤－2.故选B.3．小题热身(1)(2014·天津高考)函数f(x)＝log(x2－4)的单调递增区间为(　　)A．(0，＋∞)B．(－∞，0)C．(2，＋∞)D

6、．(－∞，－2)答案　D解析　由x2－4>0得x<－2或x>2.令u＝x2－4，易知u＝x2－4在(－∞，－2)上为减函数，在(2，＋∞)上为增函数，y＝logu为减函数，故f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)．故选D.(2)(2017·保定期末)直角梯形OABC中AB∥OC，AB＝1，OC＝BC＝2，直线l：x＝t截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数S＝f(t)的图象大致为(　　)答案　C解析　由题意可知：当0

7、以f(t)＝结合不同段上函数的性质，可知选项C符合．故选C.题型1　函数单调性的判断与证明　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　已知函数f(x)＝－ax，其中a>0.(1)若2f(1)＝f(－1)，求a的值；(2)证明：当a≥1时，函数f(x)在区间[0，＋∞)上为单调减函数．本题用定义法．解　(1)由2f(1)＝f(－1)，可得2－2a＝＋a，得a＝.(2)证明：任取x1，x2∈[0，＋∞)，且x1

8、<，00，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递减．方法技巧确定函数单调性(区间)的常用方法1．定义法：本例采用了定义法．一般步骤为设元→作差→变形→判断符号→得出结论．其关键是作差变形．见典例．2．图象法：如冲关针对训练1.3．导数法：本例也可采用