2019版高考数学大一轮复习第十二章不等式选讲第60讲不等式的证明优选学案

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1、第60讲　不等式的证明考纲要求考情分析命题趋势1.了解柯西不等式的几种不同形式，理解它们的几何意义，并会证明．2．会用参数配方法讨论柯西不等式的一般情形：·≥2，会用向量递归方法讨论排序不等式．3．了解数学归纳法的原理及其使用范围，会用数学归纳法证明一些简单问题．4．了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法．2017·全国卷Ⅱ，232015·全国卷Ⅱ，242015·湖南卷，16(3)不等式的证明是对必修5中“不等式”的补充和深化，其中以考查综合法、分析法、放缩法等为主．另外应用基本不等式、柯西不等式求函数的最值也是高考考查的一个方向．分值：5～10分1

2、．比较法作差比较法与作商比较法的基本原理：(1)作差法：a－b＞0⇔__a＞b__.(2)作商法：＞__1__⇔a＞b(a＞0，b＞0)．2．综合法与分析法(1)综合法：证明不等式时，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过__推理论证__而得出命题成立，综合法又叫顺推证法或由因导果法．(2)分析法：证明命题时，从待证不等式出发，逐步寻求使它成立的__充分条件__，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立．这是一种__执果索因__的思考和证明方法．3．反证法先假设要证的命题__不成立__，以此为出发点，结

3、合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的__推理__，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)__矛盾__的结论，以说明假设__不正确__，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法．4．放缩法证明不等式时，通过把所证不等式的一边适当地__放大__或__缩小__以利于化简，并使它与不等式的另一边的不等关系更为明显，从而得出原不等式成立，这种方法称为放缩法．5．数学归纳法数学归纳法证明不等式的一般步骤：(1)证明当__n＝n0__时命题成立；(2)假设当__n＝k__(k∈N*，且k≥n0)时命题成立，证明__n＝k＋1__时命题也成立．综合(1)(2

4、)可知，结论对于任意n≥n0，且n0，n∈N*都成立．6．柯西不等式(1)代数形式：设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立．(2)向量形式：设α，β是两个向量，则

5、α

6、

7、β

8、≥

9、α·β

10、，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．(3)三角不等式：设x1，y1，x2，y2，x3，y3∈R，则＋≥.(4)一般形式：设a1，a2，a3，…，an，b1，b2，b3，…，bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1,2，…，n)或存

11、在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1,2，…，n)时，等号成立．7．排序不等式设a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn为两组实数，c1，c2，…，cn是b1，b2，…，bn的任一排列，那么a1bn＋a2bn－1＋…＋anb1≤a1c1＋a2c2＋…＋ancn≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn.当且仅当a1＝a2＝…＝an或b1＝b2＝…＝bn时，反序和等于顺序和．1．思维辨析(在括号内打“√”或“”)．(1)用反证法证明命题“a，b，c全为0”时假设为“a，b，c全不为0”.(　×　)(2)若实数x，y适合不等式xy>1，x＋y>－2，则x>0，y>0.(　√　)(3)

12、不等式

13、x＋a

14、＋

15、x＋b

16、≥c恒成立的充要条件是

17、a－b

18、≥c.(　√　)(4)不等式

19、x＋a

20、－

21、x＋b

22、＜c恒成立的充要条件是

23、a－b

24、≤c.(　×　)2．若a>0，b>0，a，b的等差中项是，且α＝a＋，β＝b＋，则α＋β的最小值为(　D　)A．2　　　B．3　　　　C．4　　　D．5解析　∵为a，b的等差中项，∴a＋b＝×2＝1.a＋＋b＋⇒1＋＋＝1＋＝1＋，∵≤，∴ab≤＝.∴1＋≥1＋4.∴α＋β的最小值为5.故选D.3．设a>0，b>0，若是3a与3b的等比中项，则＋的最小值为(　B　)A．8　　　B．4　　　C．1　　　D．解析　因为3a·3b＝3，所以a

25、＋b＝1.＋＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝b＝时“＝”成立．故选B.4．若直线3x＋4y＝2，则x2＋y2的最小值为__　　__，最小值点为__　　__.解析　画出直线3x＋4y＝2的图象，再画以原点为圆心的圆，要使圆和直线有交点，则最小半径为直线与圆相切时，r＝＝，切点为直线3x＋4y＝2与4x－3y＝0的交点．因此，当x＝，y＝时，x2＋y2取得最小值，最小值为，最小值点为.5．定义在R上的函数f(x)对任意两个不等的实数x1，x2都有x1f(x1)＋x2f(x2)>x1f(x