2018年高考数学二轮复习 考前专题二 函数与导数 第3讲 导数及其应用讲学案 理

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1、第3讲 导数及其应用1.导数的意义和运算是导数应用的基础,是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型.3.导数与函数零点,不等式的结合常作为高考压轴题出现.热点一 导数的几何意义1.函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率,曲线f(x)在点P处的切线的斜率k=f′(x0),相应的切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).2.求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同.例1 (1)(2017届山东寿光现代中学月考)过点

2、(0,1)且与曲线y=在点(3,2)处的切线垂直的直线的方程为(  )A.2x+y-1=0B.2x-y+1=0C.x-2y+2=0D.x+2y-2=0答案 B解析 因为y′==-,故切线的斜率k=-,即所求直线的斜率k=2,方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0.故选B.(2)(2017届成都一诊)已知曲线C1:y2=tx(y>0,t>0)在点M处的切线与曲线C2:y=ex+1-1也相切,则tln的值为(  )A.4e2B.8eC.2D.8答案 D解析 曲线C1:y=,y′=.当x=时,y′=,切线方程为y-2=

3、,化简为y=x+1.①与曲线C2相切,设切点为(x0,y0),y′

4、=e=,x0=ln-1,那么y0=e-1=-1,切线方程为y-=,化简为y=x-ln+-1,②①②是同一方程,所以-ln+-1=1⇔ln=,即t=4,那么tln=4lne2=8,故选D.思维升华 (1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异,过点P的切线中,点P不一定是切点,点P也不一定在已知曲线上,而在点P处的切线,必以点P为切点.(2)利用导数的几何意义解题,主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.以平行、垂直直

5、线斜率间的关系为载体求参数的值,则要求掌握平行、垂直与斜率之间的关系,进而和导数联系起来求解.跟踪演练1 (1)(2017届河北省正定中学期中)已知函数f(x)=3x+cos2x+sin2x,a=f′,f′(x)是f(x)的导函数,则过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程为________.答案 3x-y-2=0或3x-4y+1=0解析 f′(x)=3-2sin2x+2cos2x,f′=3-2=1,则a=1,点P的坐标为,若P为切点,y′=3x2,曲线y=x3在点P处切线的斜率为3,切线方程为y-1=3(x-1),即

6、3x-y-2=0;若P不为切点,设曲线y=x3的切线的切点为(m,n),曲线y=x3的切线的斜率k=3m2,则=3m2.又n=m3,则m=-,n=-,得切线方程为y+=,即3x-4y+1=0.∴过曲线y=x3上一点P(a,b)的切线方程为3x-y-2=0或3x-4y+1=0.(2)(2017届云南省师范大学附属中学月考)若函数f(x)=lnx与函数g(x)=x2+2x+a(x<0)有公切线,则实数a的取值范围是(  )A.B.(-1,+∞)C.(1,+∞)D.(-ln2,+∞)答案 A解析 设公切线与函数f(x)=lnx

7、切于点A(x1,lnx1)(x1>0),则切线方程为y-lnx1=(x-x1).设公切线与函数g(x)=x2+2x+a切于点B(x2,x+2x2+a)(x2<0),则切线方程为y-(x+2x2+a)=2(x2+1)(x-x2),∴∵x2<0h(2)=-ln2-1=ln,∴a∈(ln,+∞),故选A.热

8、点二 利用导数研究函数的单调性1.f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件,如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0.2.f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件,当函数在某个区间内恒有f′(x)=0时,则f(x)为常函数,函数不具有单调性.例2 (2017届河南息县第一高级中学段测)已知函数f(x)=x2+alnx.(1)当a=-2时,求函数f(x)的单调区间;(2)若g(x)=f(x)+,在[1,+∞)上是单调函数,求实数a的取值范围.解 (1)f′(x)=2x-,令f′(x)

9、>0,得x>1;令f′(x)<0,得0

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