浙江专用2019高考数学二轮复习专题五函数与导数第3讲导数及其应用学案

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1、第3讲　导数及其应用[考情考向分析]　1.导数的意义和运算是导数应用的基础，是高考的一个热点.2.利用导数解决函数的单调性与极值(最值)问题是高考的常见题型．热点一　导数的几何意义1．函数f(x)在x0处的导数是曲线f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，曲线f(x)在点P处的切线的斜率k＝f′(x0)，相应的切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．2．求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的不同．例1　(1)(2018·全国Ⅰ)设函数f(x)＝x3＋(a－1)x2＋a

2、x，若f(x)为奇函数，则曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为(　　)A．y＝－2xB．y＝－xC．y＝2xD．y＝x答案　D解析　方法一　∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a.又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)恒成立，即－x3＋(a－1)x2－ax＝－x3－(a－1)x2－ax恒成立，∴a＝1，∴f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.方法二　∵f(x)＝x3＋(a－1)x2＋ax

3、为奇函数，∴f′(x)＝3x2＋2(a－1)x＋a为偶函数，∴a＝1，即f′(x)＝3x2＋1，∴f′(0)＝1，∴曲线y＝f(x)在点(0,0)处的切线方程为y＝x.故选D.(2)若直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋1的切线，也是曲线y＝ln(x＋2)的切线，则实数b＝________.答案　ln2解析　设直线y＝kx＋b与曲线y＝lnx＋1和曲线y＝ln(x＋2)的切点分别为(x1，lnx1＋1)，(x2，ln(x2＋2))．∵直线y＝kx＋b是曲线y＝lnx＋1的切线，也是曲线y＝ln(x＋2)的切线

4、，∴＝，即x1－x2＝2.∴切线方程为y－(lnx1＋1)＝(x－x1)，即为y＝＋lnx1或y－ln(x2＋2)＝(x－x2)，即为y＝＋＋lnx1，∴＝0，则x1＝2，∴b＝ln2.思维升华　(1)求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点．(2)利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化．以平行、垂直直线斜率间的关系为载体求参数的值，则要求掌握平行、垂直与

5、斜率之间的关系，进而和导数联系起来求解．跟踪演练1　(1)(2018·全国Ⅱ)曲线y＝2ln(x＋1)在点(0,0)处的切线方程为________．答案　2x－y＝0解析　∵y＝2ln(x＋1)，∴y′＝.令x＝0，得y′＝2，由切线的几何意义得切线斜率为2，又切线过点(0,0)，∴切线方程为y＝2x，即2x－y＝0.(2)若函数f(x)＝lnx(x>0)与函数g(x)＝x2＋2x＋a(x<0)有公切线，则实数a的取值范围是(　　)A.B．(－1，＋∞)C．(1，＋∞)D．(－ln2，＋∞)答案　A解析　设

6、公切线与函数f(x)＝lnx切于点A(x1，lnx1)(x1>0)，则切线方程为y－lnx1＝(x－x1)．设公切线与函数g(x)＝x2＋2x＋a切于点B(x2，x＋2x2＋a)(x2<0)，则切线方程为y－(x＋2x2＋a)＝2(x2＋1)(x－x2)，∴∵x2<0h(2)＝－ln2－

7、1＝ln，∴a∈.热点二　利用导数研究函数的单调性1．f′(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件，如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0.2．f′(x)≥0是f(x)为增函数的必要不充分条件，如函数在某个区间内恒有f′(x)＝0时，则f(x)为常函数，函数不具有单调性．例2　已知函数f(x)＝2ex－kx－2.(1)讨论函数f(x)在(0，＋∞)内的单调性；(2)若存在正数m，对于任意的x∈(0，m)，不等式

8、f(x)

9、>2x恒成立，求正实数k的取值范围．解　(1)由题意得f

10、′(x)＝2ex－k，x∈(0，＋∞)，因为x>0，所以2ex>2.当k≤2时，f′(x)>0，此时f(x)在(0，＋∞)内单调递增．当k>2时，由f′(x)>0得x>ln，此时f(x)单调递增；由f′(x)<0得02时，f(x)在内单调递减，在内单调递增．(2)①当0