2018版高中数学 第2章 圆锥曲线与方程 2.4.1 抛物线的标准方程学案 苏教版选修2-1

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1、2．4.1　抛物线的标准方程[学习目标]　1.掌握抛物线的定义及其焦点、准线的概念.2.会求简单的抛物线方程．知识点一　抛物线的定义平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线．知识点二　抛物线标准方程的几种形式图形标准方程焦点坐标准线方程y2＝2px(p>0)(，0)x＝－y2＝－2px(p>0)(－，0)x＝x2＝2py(p>0)(0，)y＝－x2＝－2py(p>0)(0，－)y＝思考　(1)抛物线的标准方程y2＝2px(p>0)中p的几何意义

2、是什么？(2)平面内到一定点距离与到一定直线距离相等的点的轨迹是抛物线吗？答案　(1)焦点到准线的距离．(2)不一定．当直线l经过点F时，点的轨迹是过定点F且垂直于定直线l的一条直线；l不经过点F时，点的轨迹是抛物线．题型一　求抛物线的标准方程例1　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)焦点为(－2,0)；(2)准线为y＝－1；(3)过点A(2,3)；(4)焦点到准线的距离为.解　(1)由于焦点在x轴的负半轴上，且＝2，∴p＝4，∴抛物线的标准方程为y2＝－8x.(2)∵焦点在y轴正半轴上，且＝1，∴p＝2，∴抛物线的标准

3、方程为x2＝4y.(3)由题意，抛物线方程可设为y2＝mx(m≠0)或x2＝ny(n≠0)，将点A(2,3)的坐标代入，得32＝m·2或22＝n·3，∴m＝或n＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝y.(4)由焦点到准线的距离为，可知p＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝5x或y2＝－5x或x2＝5y或x2＝－5y.反思与感悟　求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p值即可．若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．焦点在x轴上的抛物线方程可设为y2＝ax(a≠0)，焦点在y

4、轴上的抛物线方程可设为x2＝ay(a≠0)．跟踪训练1　分别求满足下列条件的抛物线的标准方程．(1)过点(3，－4)；(2)焦点在直线x＋3y＋15＝0上．解　(1)方法一　∵点(3，－4)在第四象限，∴设抛物线的标准方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2p1y(p1>0)．把点(3，－4)的坐标分别代入y2＝2px和x2＝－2p1y，得(－4)2＝2p·3,32＝－2p1·(－4)，即2p＝，2p1＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.方法二　∵点(3，－4)在第四象限，∴抛物线的方程可设为y2＝ax(a≠0)或

5、x2＝by(b≠0)．把点(3，－4)分别代入，可得a＝，b＝－.∴所求抛物线的标准方程为y2＝x或x2＝－y.(2)令x＝0得y＝－5；令y＝0得x＝－15.∴抛物线的焦点为(0，－5)或(－15,0)．∴所求抛物线的标准方程为x2＝－20y或y2＝－60x.题型二　抛物线定义的应用例2　如图，已知抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3,2)，求PA＋PF的最小值，并求此时P点坐标．解　如图，作PQ⊥l于Q，由定义知，抛物线上点P到焦点F的距离等于点P到准线l的距离d，由图可知，求PA＋PF的最小值的问

6、题可转化为求PA＋d的最小值的问题．将x＝3代入抛物线方程y2＝2x，得y＝±.∵>2，∴A在抛物线内部．设抛物线上动点P到准线l：x＝－的距离为d，由定义知PA＋PF＝PA＋d.由图可知，当PA⊥l时，PA＋d最小，最小值为.即PA＋PF的最小值为，此时P点纵坐标为2，代入y2＝2x，得x＝2.∴点P坐标为(2,2)．反思与感悟　抛物线的定义在解题中的作用，就是灵活地对抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离进行转化，另外要注意平面几何知识的应用，如两点之间线段最短，三角形中三边间的不等关系，点与直线上点的连线垂线段最短等．跟踪训

7、练2　已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点A(0,2)的距离与P到该抛物线的准线的距离之和的最小值为________．答案　解析　如图，由抛物线定义知PA＋PQ＝PA＋PF，则所求距离之和的最小值转化为求PA＋PF的最小值，则当A、P、F三点共线时，PA＋PF取得最小值．又A(0,2)，F(，0)，∴(PA＋PF)min＝AF＝＝.题型三　抛物线的实际应用例3　如图所示，一辆卡车高3m，宽1.6m，欲通过断面为抛物线形的隧道，已知拱口AB宽恰好是拱高CD的4倍，若拱口宽为am，求能使卡车通过的a的最小整数值．解　以

8、拱顶为原点，拱高所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．则点B的坐标为，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，∵点B在抛物线上，∴2＝－2p·，解得p＝，∴抛物线方程为x2＝－ay.将点E(0.8，y)代入抛物线方程，得y＝－.∴点E到拱底AB的距离为－