2017年中考数学专题复习 第8章 图形与变换 第21讲 图形的相似与位似

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1、第21讲图形的相似与位似☞【基础知识归纳】☜☞归纳1：比例的基本性质、黄金分割(1)成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段．(2)比例的基本性质①②③(3)平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例(4)黄金分割：把一条线段（AB）分割成两条线段，使其中较长线段（AC）是原线段AB与较短线段（BC）的比例线段，就叫作把这条线段黄金分割．即AC·AC=AB·BC，AC=；一条线段的黄金分割点有两个．☞归纳2：三角形相似的性

2、质及判定(1)相似三角形的判定①两角对应相等，两三角形相似；②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；③三边对应成比例，两三角形相似；④平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所截得的三角形与原三角形相似；(2)相似三角形性质①相似三角形的对应角相等，对应边成比例，对应高、对应中线、对应角平分线的比都等于相似比，②周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方．☞归纳3：相似多边形与位似图形1.相似多边形的性质①相似多边形对应角相等，对应边成比例．②相似多边形周长之比等于相似比，面积之比等于

3、相似比的平方．2.位似图形(1)概念：如果两个多边形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点，这样的图形叫做位似图形．这个点叫做位似中心．(2)性质：位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．☞【常考题型剖析】☜☺题型一、平行线分线段成比例【例1】(2016兰州)如图,在△ABC中，DE∥BC，若,则=（　）A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.【答案】C【解析】根据三角形一边的平行线行性质定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例，AE：EC＝AD：DB＝2

4、：3，所以答案选C。【举一反三】1.(2016济宁)如图1，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于　　（图1）（图2）【答案】D【解答】解：∵AG=2，GD=1，∴AD=3，∵AB∥CD∥EF，∴2.(2016临沂)如图2，在△ABC中，点D，E，F分别在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB．若AB=8，BD=3，BF=4，则FC的长为【答案】【解答】解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴∵AB=8，BD=3，BF=4，∴解得：FC=☺题型二、相似三角形的

5、判定和性质【例2】（2016盐城）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（　　）A.0个　　　　B.1个　　　　C.2个　　　　　D.3个【答案】C【分析】直接利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥DC，再结合相似三角形的判定方法得出答案．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥DC，∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，∴与△AEF相似的三角形有2个．【例3】(2016重庆)已知△ABC与

6、△DEF的相似比为1：4，则△ABC与△DEF的周长比为（　　）A.1：2　　　　B.1：3　　　　C.1：4　　　　D.1：16【答案】C【分析】由相似三角形周长的比等于相似比即可得出结果．【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：4，∴△ABC与△DEF的周长比为1：4；【举一反三】3.(2016上海)在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．【答案】【解答】解：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=

7、=，4.(2016兰州)已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为（　　）A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.【答案】D【解析】∵△ABC∽△DEF，且相似比为3：4，∴△DEF与△ABC的面积比为32：42，即△ABC与△DEF的面积比为9：16．5.(2016云南)如图5，D是△ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，∠DAC=∠B．如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为（　　）（图5）（图6）（图7）A.15B.10C.D.5【答案】

8、D【分析】首先证明△ACD∽△BCA，由相似三角形的性质可得：△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，因为△ABD的面积为9，进而求出△ACD的面积．【解答】解：∵∠DAC=∠B，∠C=∠C，∴△ACD∽△BCA，∵AB=4，AD=2，∴△ACD的面积：△ABC的面积为1：4，∴△ACD的面积：△ABD的面积=1：3，∵△ABD的面积为15，∴△ACD的面积∴△ACD的面积=5．6.(2016巴中)如图6，点D、E分别为△ABC的边AB、AC上的中点，则