2018版高中数学 第三章 三角恒等变换 3.1.3 两角和与差的正切学案 苏教版必修4

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1、3.1.3　两角和与差的正切学习目标　1.能利用两角和与差的正弦、余弦公式推导出两角和与差的正切公式.2.能利用两角和与差的正切公式进行化简、求值、证明.3.熟悉两角和与差的正切公式的常见变形，并能灵活应用．知识点一　两角和与差的正切公式思考1　怎样由两角和的正弦、余弦公式得到两角和的正切公式？　　　思考2　由两角和的正切公式如何得到两角差的正切公式？　　　梳理名称简记符号公式使用条件两角和的正切T(α＋β)tan(α＋β)＝α，β，α＋β均不等于kπ＋(k∈Z)两角差的正切T(α－β)tan(α－β)＝α，β，

2、α－β均不等于kπ＋(k∈Z)知识点二　两角和与差的正切公式的变形1．T(α＋β)的变形tanα＋tanβ＝________________________.tanα＋tanβ＋tanαtanβtan(α＋β)＝____________.tanαtanβ＝________________________.2．T(α－β)的变形tanα－tanβ＝________________________.tanα－tanβ－tanαtanβtan(α－β)＝____________.tanαtanβ＝___________

3、_________.类型一　正切公式的正用例1　(1)已知tanα＝－2，tan(α＋β)＝，则tanβ的值为________．(2)已知α，β均为锐角，tanα＝，tanβ＝，则α＋β＝______.反思与感悟　(1)注意用已知角来表示未知角．(2)利用公式T(α＋β)求角的步骤：①计算待求角的正切值．②缩小待求角的范围，特别注意隐含的信息．③根据角的范围及三角函数值确定角．跟踪训练1　已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.类型二　正切公式的逆用例2　(1)＝________；(2)＝__

4、______.反思与感悟　注意正切公式的结构特征，遇到两角正切的和与差，构造成与公式一致的形式，当式子出现，1，这些特殊角的三角函数值时，往往是“由值变角”的提示．跟踪训练2　求下列各式的值：(1)；(2).　　　类型三　正切公式的变形使用例3　(1)化简：tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°；(2)若锐角α，β满足(1＋tanα)(1＋tanβ)＝4，求α＋β的值．　　　反思与感悟　两角和与差的正切公式有两种变形形式：①tanα±tanβ＝tan(α±β)(1∓tanαtanβ)或②1∓tanα

5、·tanβ＝.当α±β为特殊角时，常考虑使用变形形式①，遇到1与正切的乘积的和(或差)时常用变形形式②.合理选用公式解题能起到快速、简捷的效果．跟踪训练3　在△ABC中，A＋B≠，且tanA＋tanB＋＝tanAtanB，则角C的值为________．1．若tanα＝3，tanβ＝，则tan(α－β)＝________.2．已知cosα＝－，且α∈，则tan＝________.3．已知tanα＝，则＝________.4．已知A，B都是锐角，且tanA＝，sinB＝，则A＋B＝________.5．已知＝3，ta

6、n(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.1．公式T(α±β)的结构特征和符号规律(1)公式T(α±β)的右侧为分式形式，其中分子为tanα与tanβ的和或差，分母为1与tanαtanβ的差或和．(2)符号变化规律可简记为“分子同，分母反”．2．应用公式T(α±β)时要注意的问题(1)公式的适用范围由正切函数的定义可知，α、β、α＋β(或α－β)的终边不能落在y轴上，即不为kπ＋(k∈Z)．(2)公式的逆用一方面要熟记公式的结构，另一方面要注意常值代换如tan＝1，tan＝，tan＝等．特别要注意

7、tan(＋α)＝，tan(－α)＝.(3)公式的变形用只要用到tanα±tanβ，tanαtanβ时，有灵活应用公式T(α±β)的意识，就不难想到解题思路．特别提醒：tanα＋tanβ，tanαtanβ，容易与根与系数的关系联系，应注意此类题型．答案精析问题导学知识点一思考1　tan(α＋β)＝＝，分子分母同除以cosαcosβ，便可得到．思考2　用－β替换tan(α＋β)中的β即可得到．知识点二1．tan(α＋β)(1－tanαtanβ)　tan(α＋β)　1－2．tan(α－β)(1＋tanαtanβ)　ta

8、n(α－β)　－1题型探究例1　(1)3　(2)跟踪训练1　－例2　(1)　(2)－1跟踪训练2　解　(1)原式＝＝＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－tan30°＝－.(2)原式＝＝＝.例3　解　(1)tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°＝tan(23°＋37°)(1－tan23°tan37°)＋tan23°tan37°＝tan60°(1－