2018版高中数学 第二章 函数 2.5 简单的幂函数学案 北师大版必修1

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1、2.5　简单的幂函数1．了解幂函数的概念．2．结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x－1，y＝x的图像，了解它们的变化情况．(难点、易混点)3．结合具体函数，了解函数奇偶性的含义．(重点)[基础·初探]教材整理1　幂函数阅读教材P49～“例1”结束之间的内容，完成下列问题．1．幂函数的定义如果一个函数，底数是自变量x，指数是常量α，即y＝xα，这样的函数称为幂函数．2．简单的幂函数的图像和性质图251函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1在同一平面直角坐标系中的图像如图251所示：从图中可以观察得到

2、：y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)值域R[0，＋∞)R[0，＋∞)(－∞，0)∪(0，＋∞)单调性增函数在(－∞，0]上是减函数；在[0，＋∞)上是增函数增函数增函数在(－∞，0)和…(0，＋∞)上均为减函数定点函数图像均过点(1,1)　下列函数中是幂函数的是(　　)①y＝；②y＝axm(a，m为非零常数，且a≠1)；③y＝x＋x4；④y＝xn；⑤y＝(x－6)3；⑥y＝8x2；⑦y＝x2＋x；⑧y＝1.A．①②③⑧　　　　　　B．①④C．③④⑤⑥D．②④⑦【

3、解析】　由幂函数的定义：形如y＝xa(a∈R)的函数才是幂函数，则y＝＝x－3，y＝xn是幂函数．【答案】　B教材整理2　函数的奇偶性阅读教材P49从“可以看出”～P50“练习”以上的有关内容，完成下列问题．1．(1)图像奇函数的图像偶函数．(2)解析式奇函数f(－x)＝－f(x)．偶函数f(－x)＝f(x)．2．奇偶性当一个函数是奇函数或偶函数时，称该函数具有奇偶性．　判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)奇函数的图像一定过原点．(　　)(2)定义在R上的函数f(x)，若存在x0，使f(－x0)＝f(x0)

4、，则函数f(x)为偶函数．(　　)(3)函数y＝x2，x∈(－1,1]是偶函数．(　　)【答案】　(1)×　(2)×　(3)×[小组合作型]幂函数的概念　函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3是幂函数，且当x∈(0，＋∞)时，f(x)是增加的，求f(x)的解析式．【精彩点拨】　先由m2－m－1＝1求出m的值，再代入到m2＋m－3中，找到满足x∈(0，＋∞)时，f(x)是增加的m的值．【尝试解答】　　根据幂函数定义得，m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，f(x)＝x3在(0，＋∞)是增加的，符合

5、要求；当m＝－1时，f(x)＝x－3在(0，＋∞)上是减少的，不符合要求．因此，f(x)＝x3.1．形如y＝xa的函数叫幂函数，它有两个特点：(1)系数为1；(2)指数为常数，底数为自变量x.2．求幂函数的解析式常利用幂函数的图像特征或性质确定指数的特征值．[再练一题]1．已知函数f(x)＝(m2－m－1)xm2－2m－1是幂函数，且是偶函数，求f(x)的解析式.【导学号：04100033】【解】　由题意知m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.当m＝2时，m2－2m－1＝－1，函数f(x)＝x－1，不是偶函数；当

6、m＝－1时，m2－2m－1＝2，函数f(x)＝x2，是偶函数．因此，f(x)＝x2.幂函数的图像和性质　点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图像上，当x为何值时，有①f(x)＞g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)＜g(x)?【精彩点拨】　用待定系数法求出两个函数的解析式，画出两个幂函数的图像，根据数形结合法写出不等式的解集．【尝试解答】　　设f(x)＝xα，g(x)＝xβ，则()α＝2，(－2)β＝－，∴α＝2，β＝－1.∴f(x)＝x2，g(x)＝x－1.分别作出它们的图像如图，由图像可知，当x∈

7、(－∞，0)∪(1，＋∞)时，f(x)＞g(x)；当x＝1时，f(x)＝g(x)；当x∈(0,1)时，f(x)＜g(x)．研究幂函数的性质常借助于幂函数的图像，利用图像可以较直观地分析出相应函数的性质，进而利用性质来解决相关的问题.[再练一题]2.已知函数y＝xa，y＝xb，y＝xc的图像如图252所示，则a，b，c的大小关系为(　　)图252A．c＜b＜aB．a＜b＜cC．b＜c＜aD．c＜a＜b【解析】　由幂函数的图像特征知，c＜0，a＞0，b＞0.由幂函数的性质知，当x＞1时，指数大的幂函数的函数值就大，则a

8、＞b.综上所述，可知c＜b＜a.【答案】　A函数奇偶性的判断　判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝＋；(4)f(x)＝【精彩点拨】　首先要看定义域是否关于原点对称，然后通过f(－x)与f(x)的关系得出结论．对于(4)，要分别在x＞0和x＜0的情况下考察f(－x)与f(x)的关系．【尝试解答】　　(1)函数的定义域为(－