2018版高中数学 第二章 基本初等函数（ⅰ）2.1.2 指数函数及其性质（第2课时）指数函数及其性质的应用学案 新人教a版必修1

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1、第2课时　指数函数及其性质的应用1．掌握指数函数的性质并会应用，能利用指数函数的单调性比较幂的大小及解不等式．(重点)2．通过本节内容的学习，进一步体会函数图象是研究函数的重要工具，并能运用指数函数研究一些实际问题．(难点)[小组合作型]比较大小与解不等式　(1)设a＝－，b＝，c＝－，则a，b，c的大小顺序为(　　)A．c

2、即可判断．(2)先根据0＜a＜1，得到y＝ax为减函数，再根据指数函数的单调性得到x2－2x＋1＜x2－3x＋5，解得即可．【自主解答】　∵指数函数y＝x为增函数，＞，∴a＞b＞1，∴a＞b＞c，故选A.(2)∵0＜a＜1，∴y＝ax为减函数．∵ax2－2x＋1＞ax2－3x＋5，∴x2－2x＋1＜x2－3x＋5，解得x＜4.【答案】　(1)A　(2)(－∞，4)1．比较幂的大小的方法(1)对于底数相同但指数不同的幂的大小的比较，可以利用指数函数的单调性来判断．(2)对于底数不同，指数相同的幂的大小的比较，

3、可利用指数函数的图象的变化规律来判断．(3)对于底数不同且指数不同的幂的大小的比较，则应通过中间值来判断．2．指数型不等式af(x)＞ag(x)(a＞0，且a≠1)的解法(1)当a＞1时，f(x)＞g(x)；(2)当0＜a＜1时，f(x)＜g(x)．[再练一题]1．设a＝90.9，b＝270.48，c＝－1.5，则a，b，c的大小顺序为(　　)A．a＞b＞cB．a＞c＞bC．b＞a＞cD．c＞a＞b【解析】　因为函数y＝3x在R上单调递增，a＝31.8，b＝270.48＝31.44，c＝31.5.∴a＞c＞

4、b.【答案】　B与指数函数有关的最值或值域问题　已知函数f(x)＝(a∈R)，且x∈R时，总有f(－x)＝－f(x)成立．(1)求a的值；(2)判断并证明函数f(x)的单调性；(3)求f(x)在[0,2]上的值域．【精彩点拨】　(1)根据条件建立方程关系即可求a的值；(2)根据函数单调性的定义判断并证明函数f(x)的单调性；(3)结合函数奇偶性和单调性的定义即可求f(x)在[0,2]上的值域．【自主解答】　(1)∵f(－x)＝－f(x)，∴＝－，即＝，∴a＝1，∴f(x)＝.(2)函数f(x)为R上的减函数

5、，证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R，且x2＞x1，∴f(x2)－f(x1)＝－＝.∵x2＞x1，∴2x2＞2x1>0.∴f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)．∴函数f(x)为R上的减函数．(3)由(2)知，函数f(x)在[0,2]上为减函数，∴f(2)≤f(x)≤f(0)，即－≤f(x)≤0，即函数的值域为.1．指数函数本身不具有奇偶性，但是与指数函数有关的函数可以具有奇偶性，其解决方法一般是利用函数奇偶性的定义和性质．2．一般用函数单调性的定义证明指数函数与其它函数复

6、合而成的函数的单调性．[再练一题]2．已知函数f(x)＝a·4x－a·2x＋1＋2在区间[－2,2]上的最大值为3，求实数a的值.【导学号：97030088】【解】　令t＝2x.∵x∈[－2,2]，∴t∈，则g(t)＝at2－2at＋2.当a＝0时，g(t)＝2≠3，故舍去a＝0；当a≠0时，g(t)＝a(t－1)2＋2－a；当a＞0时，g(t)max＝g(4)＝8a＋2＝3，∴a＝.当a＜0时，g(t)max＝2－a＝3，∴a＝－1.综上，a＝或a＝－1.[探究共研型]指数函数单调性的综合应用探究1　函数

7、f(x)＝x2－2x＋1的单调区间是什么？【提示】　因为函数y＝t在(－∞，＋∞)上单调递减，函数t＝x2－2x＋1在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以复合函数f(x)＝x2－2x＋1在(－∞，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减．探究2　函数y＝a－x2(a>0，且a≠1)的单调性与y＝－x2的单调性存在怎样的关系？【提示】　分两类：(1)当a>1时，函数y＝a－x2的单调性与y＝－x2的单调性一致；(2)当0

8、f(x)＝满足对任意的x1≠x2都有＜0成立，则a的取值范围是(　　)A.B．(0,1)C.D．(0,3)【精彩点拨】　由题目所给的条件判定函数f(x)的单调性可求a的取值范围，但要注意两段最值的大小关系．【自主解答】　∵f(x)对任意的x1≠x2都有<0成立，∴f(x)＝为R上的减函数，∴解得0＜a≤.【答案】　A1．求函数y＝af(x)的单调区间首先要确定a>1还是0