2018版高中数学 第二章 平面向量 2.3.1 平面向量基本定理导学案 新人教a版必修4

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1、2.3.1　平面向量基本定理学习目标　1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.知识点一　平面向量基本定理思考1　如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？答案　能.依据是数乘向量和平行四边形法则.思考2　如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？答案　不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.梳理　(1

2、)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：不共线的向量e1，e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.知识点二　两向量的夹角与垂直思考1　平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？答案　存在夹角，不一样.思考2　△ABC为正三角形，设＝a，＝b，则向量a与b的夹角是多少？答案　如图，延长AB至点D，使AB＝BD，则＝a，∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，

3、则∠CBD＝120°，故向量a与b的夹角为120°.梳理　(1)夹角：已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a与b的夹角(如图所示).当θ＝0°时，a与b同向；当θ＝180°时，a与b反向.(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.类型一　对基底概念的理解例1　如果e1，e2是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是(　　)①λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a，使a＝λe1＋μe2的实数对(λ，μ)有无穷多个

4、；③若向量λ1e1＋μ1e2与λ2e1＋μ2e2共线，则有且只有一个实数λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)；④若存在实数λ，μ使得λe1＋μe2＝0，则λ＝μ＝0.A.①②B.②③C.③④D.②答案　B解析　由平面向量基本定理可知，①④是正确的；对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的；对于③，当两向量的系数均为零，即λ1＝λ2＝μ1＝μ2＝0时，这样的λ有无数个，故选B.反思与感悟　考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面

5、的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.跟踪训练1　若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是(　　)A.e1－e2，e2－e1B.2e1－e2，e1－e2C.2e2－3e1，6e1－4e2D.e1＋e2，e1－e2答案　D解析　选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝2(e1－e2)，也为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，

6、只有选项D符合.类型二　向量的夹角例2　已知

7、a

8、＝

9、b

10、＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β.解　如图，作＝a，＝b，且∠AOB＝60°，以OA、OB为邻边作▱OACB，则＝a＋b，＝－＝a－b，＝＝a.因为

11、a

12、＝

13、b

14、＝2，所以△OAB为正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即a－b与a的夹角β＝60°.因为

15、a

16、＝

17、b

18、，所以平行四边形OACB为菱形，所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°，即a＋b与a的夹角α＝30°，所以α＋β＝90°.反思与感悟　(1)

19、求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1、λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.跟踪训练2　已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________.答案　90°解析　由＝(＋)知，O，B，C三点共线，且O是线段BC的中点，故线段BC是圆O的直径，从而∠BAC＝90°，因此与的夹角为90°.类型三　平面向量基本定理的应用例3　如图所示，在▱AB

20、CD中，E，F分别是BC，DC边上的中点，若＝a，＝b，试以a，b为基底表示，.解　∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，∴＝＝2，＝＝2，∴＝＝b，＝＝－＝－a.∴＝＋＋＝－＋＋＝－b＋a＋b＝a－b，＝＋＝＋＝b－a.