2018版高中数学 第二章 函数章末分层突破学案 北师大版必修1

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1、第二章函数[自我校对]①对应关系②函数的值域③解析法④简单的幂函数⑤单调性的定义⑥函数的奇偶性⑦奇偶性的判定方法　　函数的定义域1.已知函数解析式求其定义域，就是求使解析式有意义(分母不为零，偶次根式的被开方数非负等)的自变量的取值范围．2．已知函数f(x)的定义域为[a，b]，求函数f[φ(x)]的定义域，可解不等式a≤φ(x)≤b求得；如果已知函数f[φ(x)]的定义域，可通过求函数φ(x)的值域，求得函数f(x)的定义域．　(1)若函数y＝的定义域为R，则实数a的取值范围是________．(2)已知函数f(x)的定义

2、域为[0,1]，则函数f的定义域为________．【精彩点拨】　(1)对任意x∈R，都有ax2＋4ax＋3≠0成立，分a＝0，a≠0两种情况，a≠0时，Δ<0即可；(2)由0≤x－1≤1解出x的范围即为所求．【规范解答】　(1)依题意，x∈R，解析式有意义，即对任意x∈R，都有ax2＋4ax＋3≠0成立，故方程ax2＋4ax＋3＝0无实根．①当a＝0时，3≠0满足要求；②当a≠0时，则有Δ＝16a2－12a＜0，即0＜a＜时满足要求．综上可知a∈.(2)由题意知，0≤x－1≤1，解得2≤x≤4.因此，函数f的定义域为[2,

3、4]．【答案】　(1)　(2)[2,4][再练一题]1．已知函数f(2x－1)的定义域为[0,1)，求f(1－3x)的定义域.【导学号：04100036】【解】　∵f(2x－1)的定义域为[0,1)，∴0≤x＜1，∴－1≤2x－1＜1，∴f(x)的定义域为[－1,1)，即－1≤1－3x＜1,0＜x≤.故函数f(1－3x)的定义域为.函数的性质　函数的单调性和奇偶性是函数的两个重要的性质：(1)利用函数的单调性，可将函数值之间的关系转化为自变量间的关系进行研究，从而达到化繁为简的目的，特别是比较大小、证明不等式、求值域或最值等

4、方面的应用较为广泛．判定单调性的方法主要有定义法，图像法．(2)利用奇偶函数图像的对称性，可以减少对变量的讨论，常能使求解的问题避免复杂的讨论．　已知函数f(x)＝是奇函数，且f(2)＝.(1)求实数a，b的值；(2)判断函数f(x)在(－∞，－1]上的单调性，并加以证明．【精彩点拨】　(1)利用奇函数定义和f(2)＝，求a，b的值；(2)根据单调性的定义证明．【规范解答】　(1)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴＝－，∴－3x＋b＝－3x－b，因此b＝－b，即b＝0.又f(2)＝，∴＝，∴a＝2.(2)由(1

5、)知，f(x)＝＝，f(x)在(－∞，－1]上为增加的．证明：设x1＜x2≤－1，则f(x1)－f(x2)＝(x1－x2)＝(x1－x2)，∵x1＜x2≤－1，∴x1－x2＜0，x1x2＞1，x1x2－1>0，因此，(x1－x2)<0.∴f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以f(x)在(－∞，－1]上为增加的．[再练一题]2．设f(x)是R上的偶函数，在区间(－∞，0)上是增加的，f(－2)＝0，若f(m－1)<0，求m的取值范围．【解】　∵f(x)是R上的偶函数，在区间(－∞，0)上是增加的，∴f(x)

6、在(0，＋∞)上是减少的，∵f(－2)＝f(2)＝0，由f(m－1)<0，∴

7、m－1

8、>2，∴m－1<－2或m－1>2，∴m<－1或m>3.函数图像及其应用　函数的图像是函数的重要表示方法，它具有明显的直观性，通过函数的图像能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图像正确的画出．函数图像广泛应用于解题过程中，利用数形结合解题具有直观、明了、易懂的优点．　对于函数f(x)＝x2－2

9、x

10、.(1)判断其奇偶性，并指出图像的对称性；(2)画此函数的图像，并指出单调区间和最小值．【精彩点拨】　(1)

11、按照奇、偶函数的定义对f(x)的奇偶性作出判断；(2)利用f(x)的对称性画出f(x)的图像，根据图像写出f(x)的单调区间和最小值．【规范解答】　(1)函数的定义域为R，关于原点对称，f(－x)＝(－x)2－2

12、－x

13、＝x2－2

14、x

15、.则f(－x)＝f(x)，∴f(x)是偶函数，图像关于y轴对称．(2)f(x)＝x2－2

16、x

17、＝画出图像如图所示．根据图像知，函数f(x)的最小值是－1.单调增区间是[－1,0]，[1，＋∞)；单调减区间是(－∞，－1]，[0,1]．[再练一题]3．对于任意x∈R，函数f(x)表示－x＋3，x

18、＋，x2－4x＋3中的较大者，则f(x)的最小值是________．【解析】　如图，分别画出三个函数的图像，得到三个交点A(0,3)，B(1,2)，C(5,8)．从图像观察可得函数f(x)的表达式：f(x)＝f(x)的图像是图中的实线部分，图像的最低点是点B(1,2)，所以f(x)的最小值