2019届高考数学大一轮复习 第八章 立体几何与空间向量 高考专题突破四 高考中的立体几何问题学案 理 北师大版

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1、高考专题突破四　高考中的立体几何问题【考点自测】1．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，D为BC的中点，E为A1C1的中点，则DE与平面A1B1BA的位置关系为(　　)A．相交B．平行C．垂直相交D．不确定答案　B解析　如图取B1C1的中点为F，连接EF，DF，则EF∥A1B1，DF∥B1B，且EF∩DF＝F，A1B1∩B1B＝B1，∴平面EFD∥平面A1B1BA，∴DE∥平面A1B1BA.2．设x，y，z是空间中不同的直线或平面，对下列四种情形：①x，y，z均为直线；②x，y是直线，z是平面；③z是直线，x，y是平面；④x，y，z均为平面．其中使“x⊥z

2、且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是(　　)A．③④B．①③C．②③D．①②答案　C解析　由正方体模型可知①④为假命题；由线面垂直的性质定理可知②③为真命题．3．(2018届黑龙江海林市朝鲜中学模拟)已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为(　　)A．9＋4(＋)B．10＋2(＋)C．11＋2(＋)D．11＋2(＋)答案　C解析　根据三视图还原几何体为一个直四棱柱，两底面为四边形(左视图)，其余各侧面为矩形，两底面面积为2＝5，四个侧面面积为2×2＋1×2＋2×＋2×＝6＋2＋2，几何体的表面积为11＋2(＋)，故选C.4．(2017·天津滨海新区模

3、拟)如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：①BD⊥AC；②△BAC是等边三角形；③三棱锥D－ABC是正三棱锥；④平面ADC⊥平面ABC.其中正确的是(　　)A．①②④B．①②③C．②③④D．①③④答案　B解析　由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.5．(2017·沈阳调研)设α，β，γ是三

4、个平面，a，b是两条不同的直线，有下列三个条件：①a∥γ，bβ；②a∥γ，b∥β；③b∥β，aγ.如果命题“α∩β＝a，bγ，且________，则a∥b”为真命题，则可以在横线处填入的条件是________．(把所有正确的序号填上)答案　①或③解析　由线面平行的性质定理可知，①正确；当b∥β，aγ时，a和b在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．故应填入的条件为①或③.题型一　求简单几何体的表面积与体积例1　(2016·全国Ⅱ)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF，EF交BD于点H，将△DE

5、F沿EF折到△D′EF的位置．(1)证明：AC⊥HD′；(2)若AB＝5，AC＝6，AE＝，OD′＝2，求五棱锥D′ABCFE的体积．(1)证明　由已知得AC⊥BD，AD＝CD，又由AE＝CF得＝，故AC∥EF，由此得EF⊥HD，折后EF与HD保持垂直关系，即EF⊥HD′，所以AC⊥HD′.(2)解　由EF∥AC得＝＝.由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4，所以OH＝1，D′H＝DH＝3，于是OD′2＋OH2＝(2)2＋12＝9＝D′H2，故OD′⊥OH.由(1)知AC⊥HD′，又AC⊥BD，BD∩HD′＝H，BD，HD′平面BHD′，所以AC⊥平面

6、BHD′，于是AC⊥OD′，又由OD′⊥OH，AC∩OH＝O，AC，OH平面ABC，所以OD′⊥平面ABC.又由＝得EF＝.五边形ABCFE的面积S＝×6×8－××3＝.所以五棱锥D′-ABCFE的体积V＝××2＝.思维升华(1)若所给定的几何体是柱体、锥体或台体等规则几何体，则可直接利用公式进行求解．其中，等积转换法多用来求三棱锥的体积．(2)若所给定的几何体是不规则几何体，则将不规则的几何体通过分割或补形转化为规则几何体，再利用公式求解．(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．跟踪训练1(2018·乌

7、鲁木齐质检)正三棱锥的高为1，底面边长为2，内有一个球与它的四个面都相切(如图)．求：(1)这个正三棱锥的表面积；(2)这个正三棱锥内切球的表面积与体积．解　(1)底面正三角形中心到一边的距离为××2＝，则正棱锥侧面的斜高为＝，∴S侧＝3××2×＝9，∴S表＝S侧＋S底＝9＋××(2)2＝9＋6.(2)设正三棱锥P－ABC的内切球球心为O，连接OP，OA，OB，OC，而O点到三棱锥的四个面的距离都为球的半径r.∴V三棱锥P－ABC＝V三棱锥O－PAB＋V三棱锥O－PBC＋V三棱锥O－PAC＋V三棱锥O－ABC＝S侧·r＋S△ABC·r＝S表·r＝(3＋2

8、)r.又VP－ABC＝×××(2)2×1＝2，∴(3＋2)r＝2，得r＝＝＝－2