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《2021高考数学一轮复习第八章立体几何与空间向量高考专题突破四高考中的立体几何问题教学案理新人教A版.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、高考专题突破四 高考中的立体几何问题空间角的求法命题点1 求线线角例1 (2019·安徽知名示范高中联合质检)若在三棱柱ABC－A1B1C1中，∠A1AC＝∠BAC＝60°，平面A1ACC1⊥平面ABC，AA1＝AC＝AB，则异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为________．答案 解析 方法一 令M为AC的中点，连接MB，MA1，由题意知△ABC是等边三角形，所以BM⊥AC，同理，A1M⊥AC，因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，BM⊂平面ABC，所以BM⊥平面A1ACC1，因为A1M⊂平面A1ACC1，所以BM
2、⊥A1M，所以AC，BM，A1M两两垂直，以M为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立如图所示的空间直角坐标系．设AA1＝AC＝AB＝2，则A(1,0,0)，B(0，，0)，A1(0,0，)，C1(－2,0，)，所以＝(－3,0，)，＝(0，，－)，所以cos〈，〉＝＝－，故异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.方法二 如图，在平面ABC，平面A1B1C1中分别取点D，D1，连接BD，CD，B1D1，C1D1，使得四边形ABDC，A1B1D1C1为平行四边形，连接DD1，BD1，则AB＝C1D1，且AB∥C1D1，所以AC1∥BD1，故∠
3、A1BD1或其补角为异面直线AC1与A1B所成的角．连接A1D1，过点A1作A1M⊥AC于点M，连接BM，22设AA1＝2，由∠A1AM＝∠BAC＝60°，得AM＝1，BM＝，A1M＝，因为平面A1ACC1⊥平面ABC，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，A1M⊂平面A1ACC1，所以A1M⊥平面ABC，又BM⊂平面ABC，所以A1M⊥BM，所以A1B＝，在菱形A1ACC1中，可求得AC1＝2＝BD1，同理，在菱形A1B1D1C1中，求得A1D1＝2，所以cos∠A1BD1＝＝＝，所以异面直线AC1与A1B所成角的余弦值为.思维升华 (1)求异面直线所
4、成角的思路：①选好基底或建立空间直角坐标系．②求出两直线的方向向量v1，v2.③代入公式
5、cos〈v1，v2〉
6、＝求解．(2)两异面直线所成角的关注点：两异面直线所成角的范围是θ∈，两向量的夹角α的范围是[0，π]，当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线的夹角．跟踪训练1 (2019·龙岩月考)若正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的体积为，AB＝1，则直线AB1与CD1所成的角为( )A．30°B．45°C．60°D．90°答案 C解析 ∵正四棱柱ABCD－A1B1C1D
7、1的体积为，AB＝1，∴AA1＝，以D为原点，DA所在直线为x轴，DC所在直线为y轴，DD1所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，22则A(1,0,0)，B1(1,1，)，C(0,1,0)，D1(0,0，)，＝(0,1，)，＝(0，－1，)，设直线AB1与CD1所成的角为θ，则cosθ＝＝＝，又0°<θ≤90°，∴θ＝60°，∴直线AB1与CD1所成的角为60°.故选C.命题点2 求线面角例2 (2018·浙江)如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC＝120°，A1A＝4，C1C＝1，AB＝BC＝B1B＝2
8、.(1)证明：AB1⊥平面A1B1C1；(2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．方法一 (1)证明 由AB＝2，AA1＝4，BB1＝2，AA1⊥AB，BB1⊥AB，得AB1＝A1B1＝2，所以A1B＋AB＝AA，故AB1⊥A1B1.由BC＝2，BB1＝2，CC1＝1，BB1⊥BC，CC1⊥BC，得B1C1＝.由AB＝BC＝2，∠ABC＝120°，得AC＝2.由CC1⊥AC，得AC1＝，所以AB＋B1C＝AC，故AB1⊥B1C1.又因为A1B1∩B1C1＝B1，A1B1，B1C1⊂平面A1B1C1，所以AB1⊥平面A1B1C1.(2)解 如图，
9、过点C1作C1D⊥A1B1，交直线A1B1于点D，22连接AD.由AB1⊥平面A1B1C1，得平面A1B1C1⊥平面ABB1.由C1D⊥A1B1，平面A1B1C1∩平面ABB1＝A1B1，C1D⊂平面A1B1C1，得C1D⊥平面ABB1.所以∠C1AD即为AC1与平面ABB1所成的角．由B1C1＝，A1B1＝2，A1C1＝，得cos∠C1A1B1＝，sin∠C1A1B1＝，所以C1D＝，故sin∠C1AD＝＝.因此直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值是.方法二 (1)证明 如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间
10、直角坐标系．由题意知各点坐标如下：A(0，－，0)，B(1,0,0)，A1(0，－，4)，B1
