高一数学导学案：二分法求方程近似解.doc

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1、教考资源网高一数学导学案二分法求方程的近似解【学习导航】知识网络学习目标1．通过具体实例理解二分法的概念及其适用条件，了解二分法是求方程近似解的常用方法，从中体会函数与方程之间的联系及其在实际问题中的应用；2．能借助计算器用二分法求方程的近似解；3．体会数学逼近过程，感受精确与近似的相对统一【新课导学】1．二分法对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，验证，给定精度；（2）求区间的中点；（3）计算：①若=

2、，则就是函数的零点；②若·<，则令=（此时零点）；③若·<，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精度：即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤2~4．【互动探究】例1：利用计算器，求方程的一个近似解（精确到0.1）．；例2：利用计算器，求方程的近似解（精确到0.1）．例3：利用计算器，求方程的近似解（精确到0.1）．【迁移应用】1.设是方程的解，则所在的区间为（）A．B．C．D．2.估算方程的正根所在的区间是（）A．B．C．D．3．计算器求得方程的负根所在的区间是（）A．（，0）B．C．D．4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到)(1)(2)5.方程的两个根分别在区间和

3、内，则的取值范围是；6．已知函数，在上存在，使，则实数的取值范围是________________．答案：1．二分法对于在区间上连续不断，且满足的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精度，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：（1）确定区间，验证，给定精度；（2）求区间的中点；（3）计算：①若=，则就是函数的零点；②若·<，则令=（此时零点）；③若·<，则令=（此时零点）；（4）判断是否达到精度：即若，则得到零点值（或）；否则重复步骤2~4．例1：利用计算器，求方程的一个近似解（精确到0.

4、1）．【解】设，先画出函数图象的简图.(如右图所示)因为，所以在区间内，方程有一解，记为.取与的平均数，因为，所以.再取与的平均数，因为，所以.如此继续下去，得，因为与精确到的近似值都为，所以此方程的近似解为.利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解.点评:①第一步确定零点所在的大致区间，可利用函数性质，也可借助计算机或计算器，但尽量取端点为整数的区间，尽量缩短区间长度，通常可确定一个长度为1的区间；②建议列表样式如下：零点所在区间区间中点函数值区间长度10.50.250.125如此列表的优势：计算步数明确，区间长度小于精度时，即为计算的最后一步．例2：利用计算器，求方

5、程的近似解（精确到0.1）．分析：分别画函数和的图象，在两个函数图象的交点处，函数值相等．因此，这个点的横坐标就是方程的解．由函数与的图象可以发现，方程有惟一解，记为，并且这个解在区间内.【解】设，利用计算器计算得因为与精确到的近似值都为，所以此方程的近似解为.思考:发现计算的结果约稳定在.这实际上是求方程近似解的另一种方法——迭代法．除了二分法、迭代法，求方程近似解的方法还有牛顿切线法、弦切法等．例3：利用计算器，求方程的近似解（精确到0.1）．【解】方程可以化为．分别画函数与的图象，由图象可以知道，方程的解在区间内，那么对于区间，利用二分法就可以求得它的近似解为.1.设

6、是方程的解，则所在的区间为（B）A．B．C．D．2.估算方程的正根所在的区间是（B）A．B．C．D．3．计算器求得方程的负根所在的区间是（A）A．（，0）B．C．D．4.利用计算器,求下列方程的近似解(精确到)(1)(2)答案:(1)(2),例4：二次函数中实数、、满足，其中，求证：（1）)；（2）方程在内恒有解．分析：本题的巧妙之处在于，第一小题提供了有益的依据：是区间内的数，且，这就启发我们把区间划分为(，)和（，）来处理．【解】（1），由于是二次函数,故，又，所以，．⑵由题意，得,．①当时，由（1）知若，则，又,所以在（，）内有解．若，则，又，所以在（,）内有解．②当

7、时同理可证．点评：（1）题目点明是“二次函数”，这就暗示着二次项系数．若将题中的“二次”两个字去掉，所证结论相应更改．（2）对字母、分类时先对哪个分类是有一定讲究的，本题的证明中，先对分类，然后对分类显然是比较好．1．若方程在内恰有一则实数的取值范围是(B)A．B．C．D．2.方程的两个根分别在区间和内，则的取值范围是；3．已知函数，在上存在，使，则实数的取值范围是_________________．4．已知函数⑴试求函数的零点；⑵是否存在自然数，使？若存在，求出，若不存在，请说明理由．答案：（1）函数的零点为；（