高中数学 1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积学案 新人教a版必修2

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1、1.3.1柱体、锥体、台体的表面积与体积【教学目标】1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法。2.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的体积的求法。3.能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。【教学重难点】教学重点:运用公式解决问题教学难点:理解计算公式的由来.【教学过程】(一)情景导入讨论:正方体、长方体的侧面展开图?→正方体、长方体的表面积计算公式?讨论:圆柱、圆锥的侧面展开图?→圆柱的侧面积公式?圆锥的侧面积公式?那么如何计算柱体、锥体、台体的表面积,进而去研究他

2、们的体积问题,这是我们这节主要学习的内容。(二)展示目标这也是我们今天要学习的主要内容:1.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的表面积的求法。2.通过对柱、锥、台体的研究,掌握柱、锥、台的体积的求法。3.能运用公式求解,柱体、锥体和台全的全积,并且熟悉台体与术体和锥体之间的转换关系。(三)检查预习1.棱柱的侧面展开图是由,棱锥的侧面展开图是由,梭台的侧面展开图是由,圆柱的侧面展开图是,圆锥的侧面展开图是,圆台的侧面展开图是。2.几何体的表面积是指,棱柱、棱锥、棱台的表面积问题就是求、,圆柱、圆锥、圆台的表面积问题就是求、、、

3、。3.几何体的体积是指,一个几何体的体积等于。(四)合作探究面积探究:讨论:如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积?(展开成平面图形,各面面积和)讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧→表)体积探究:讨论:正方体、长方体、圆柱、圆锥的体积计算公式?五)交流展示略(六)精讲精练1.教学表面积计算公式的推导:①讨论:如何求棱柱、棱锥、棱台等多面体的表面积?(展开成平面图形,各面面积和)②练习:1.已知棱长为a,各面均为等边三角形的正四面体S-ABC的表面积.(教材P24页例1)2.一个三棱柱的底面是正三角形,边长为4,

4、侧棱与底面垂直,侧棱长10,求其表面积.③讨论:如何求圆柱、圆锥、圆台的侧面积及表面积?(图→侧→表)圆柱:侧面展开图是矩形,长是圆柱底面圆周长,宽是圆柱的高(母线),S=2,S=2,其中为圆柱底面半径,为母线长。圆锥:侧面展开图为一个扇形,半径是圆锥的母线,弧长等于圆锥底面周长,侧面展开图扇形中心角为,S=,S=,其中为圆锥底面半径,为母线长。圆台:侧面展开图是扇环,内弧长等于圆台上底周长,外弧长等于圆台下底周长,侧面展开图扇环中心角为,S=,S=.例1.已知圆柱和圆锥的高、底面半径均分别相等。若圆柱的底面半径为,圆柱侧面积为S

5、,求圆锥的侧面积。解:设圆锥的母线长为,因为圆柱的侧面积为S,圆柱的底面半径为,即,根据圆柱的侧面积公式可得:圆柱的母线(高)长为,由题意得圆锥的高为,又圆柱的底面半径为,根据勾股定理,圆锥的母线长,根据圆锥的侧面积公式得变式训练:若一个正三棱柱的三视图如图所示,则这个正三棱柱的表面积为()A.B.C.D.分析:该正三棱柱的直观图如图所示,且底面等边三角形的高为,正三棱柱的高为2,则底面等边三角形的边长为4,所以该正三棱柱的表面积为2.教学柱锥台的体积计算公式:①讨论:等底、等高的棱柱、圆柱的体积关系?(祖暅(gèng,祖冲之的儿

6、子)原理,教材P30)②根据正方体、长方体、圆柱的体积公式,推测柱体的体积计算公式?→给出柱体体积计算公式:(S为底面面积,h为柱体的高)→③讨论:等底、等高的圆柱与圆锥之间的体积关系?等底等高的圆锥、棱锥之间的体积关系?④根据圆锥的体积公式公式,推测锥体的体积计算公式?→给出锥体的体积计算公式:S为底面面积,h为高)⑤讨论:台体的上底面积S’,下底面积S,高h,由此如何计算切割前的锥体的高?→如何计算台体的体积?⑥给出台体的体积公式:(S,分别上、下底面积,h为高)→(r、R分别为圆台上底、下底半径)⑦比较与发现:柱、锥、台的体

7、积计算公式有何关系?从锥、台、柱的形状可以看出,当台体上底缩为一点时,台成为锥;当台体上底放大为与下底相同时,台成为柱。因此只要分别令S’=S和S’=0便可以从台体的体积公式得到柱、锥的相应公式。从而锥、柱的公式可以统一为台体的体积公式讨论:侧面积公式是否也正确?圆柱、圆锥、圆台的侧面积和体积公式又可如何统一?公式记忆:例2.如果一个空间几何体的正视图与侧视图均为全等的等边三角形,俯视图为一个半径为1的圆及其圆心,那么这个几何体的体积为()A.B.C.D.分析:由三视图知该几何体是圆锥,且轴截面是等边三角形,其边长等于底面直径2,

8、则圆锥的高是轴截面等边三角形的高为,所以这个几何体的体积为答案:A变式训练:如图所示,一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形的直角边长为1,那么这个几何体的体积为()A.1B.C.D.活动:让学生将三视图还原为

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