高中数学 2.4.1平面向量数量积的物理背景及其含义学案 新人教版必修4

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1、2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义教学目的：1.掌握平面向量的数量积及其几何意义；2.掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理垂直的问题；4.掌握向量垂直的条件.教学重点：平面向量的数量积定义教学难点：平面向量数量积的定义及运算律的理解和平面向量数量积的应用教学过程：一、复习引入：（1）两个非零向量夹角的概念：已知非零向量与，作＝，＝，则∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫与的夹角.说明：（1）当θ＝０时，与同向；（2）当θ＝π时，与反向；（3）当θ＝时，与垂直，记⊥；（4）注意在两向量的夹角定义，两向量必须是同起点的.范围是

2、0°≤q≤180°（2）两向量共线的判定定理（3）练习1.若=(2，3)，=(4，-1+y)，且∥，则y=（）A.6B.5C.7D.82.若A(x，-1)，B(1，3)，C(2，5)三点共线，则x的值为（）A.-3B.-1C.1D.3（4）力做的功：W=

3、

4、

5、

6、cosq，q是与的夹角.功是标量，力和位移是向量，功是由力和位移确定的，类比这种运算，我们引入“数量积”的概念。二、讲解新课：1．平面向量数量积（内积）的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角是θ，则数量││││cosq叫与的数量积，记作，即有=││││cosq，（其中０≤θ≤π）.并规定：向量与任何向

7、量的数量积为0.×探究：1、向量数量积是一个向量还是一个数量？它的符号什么时候为正？什么时候为负？2、两个向量的数量积与实数乘向量的积有什么区别？【平面向量数量积的几点说明】（1）两个向量的数量积是一个实数，不是向量，符号由cosq的符号所决定.（2）两个向量的数量积称为内积，写成；书写时要特别注意：.符号“”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替.（3）在实数中，若a¹0，且a×b=0，则b=0；但是在数量积中，若¹，且=0，不能推出=因为其中cosq有可能为0.（4）已知实数a、b、c(b¹0)，则ab=bcÞa=c.但是==如右图：=│││

8、│cosb=│││OA│，=││││cosa=│││OA│Þ=但¹(5)在实数中，有(a×b)c=a(b×c)，但是()¹()显然，这是因为左端是与共线的向量，而右端是与共线的向量，而一般与不共线.2．“投影”的概念：作图定义：││cosq叫做向量在方向上的投影.投影是一个数量，不是向量；当q为锐角时投影为正值；当q为钝角时投影为负值；当q为直角时投影为0；当q=0°时投影为││；当q=180°时投影为-││.3．向量的数量积的几何意义：数量积等于的长度与在方向上投影││cosq的乘积.探究1、：两个向量的数量积的性质：设、为两个非零向量，1、^Û=02、当与

9、同向时，=

10、

11、

12、

13、；当与反向时，=-

14、

15、

16、

17、.特别的×=

18、

19、2或││≤

20、

21、

22、

23、cosq=探究2、：平面向量数量积的运算律（1）．交换律：=（2）．数乘结合律：()×=(×)=×()（3）．分配律：(+)×=×+×说明：（1）一般地，(·)≠（·）（2）·＝·，≠＝（3）有如下常用性质：２＝｜｜２，（＋）（＋）＝·＋·＋·＋·三、讲解范例：例1．证明：①(＋)２＝２＋２·＋２②(＋)(-)=２-２例2．已知││=12，││=9，，求与的夹角θ。例3．已知││=6，││=4，与的夹角为60o求：（1）(+2)·(-3).（2）│+│与│-│.（利用）例4．已知││

24、=3，││=4，且与不共线，k为何值时，向量+k与-k互相垂直.四、课堂练习：1．课后练习1、2、3、题2．已知││=8，││=10，│+│=16，与的夹角θ的余弦.五、课堂小结：1．平面向量的数量积及其几何意义；2．平面向量数量积的重要性质及运算律；3．向量垂直的条件.六、作业布置：习题2.4A组1、2、3、题