高中数学 第3章 函数的应用 §31　函数与方程 同步精品学案 新人教a版必修1

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1、§3.1　函数与方程1．函数零点的概念对于函数y＝f(x)(x∈D)，我们把使f(x)＝0成立的实数x叫做函数y＝f(x)(x∈D)的零点．注意以下两点：(1)方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(2)函数零点的求法：代数法：求方程f(x)＝0的实数根；几何法：对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y＝f(x)的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点．2．函数零点的判断一般地，如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)

2、<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．对函数零点存在性定理的理解(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝.(2)函数y＝f(x)如果满足：①函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，②f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．(3)对于有些函数，即使它的图象是连续不断的，当它通过零点时，函数值也不一定变号．如函数y＝x2有零点x0＝0，但显然函数值没有变号．但

3、是，对于任意一个函数，相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号．(4)函数在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且在区间(a，b)上单调，若f(a)·f(b)<0，则函数y＝f(x)在(a，b)内有且只有一个零点．但要注意：如果函数y＝f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的曲线，且x0是函数在这个区间上的一个零点，却不一定有f(a)·f(b)<0.3．二分法所谓二分法，就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法．用二分法求函数零点近似值的注意点(1)在

4、第一步中要使：①区间[a，b]的长度尽量小；②f(a)、f(b)的值比较容易计算，且f(a)·f(b)<0.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系，求函数的零点与求相应方程的根是等价的．对于求方程f(x)＝g(x)，可以构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，函数F(x)的零点即为方程f(x)＝g(x)的根.　　　　题型一　判断零点所在区间根据表格中的数据，可以判定方程ex－x－2＝0的一个根所在的区间是________.x－10123ex0.3712.727.3920.09x＋212345解析　令f(x)＝ex－x－

5、2，由图表知f(－1)＝0.37－1＝－0.63<0，f(0)＝1－2＝－1<0，f(1)＝2.72－3＝－0.28<0，f(2)＝7.39－4＝3.39>0，f(3)＝20.09－5＝15.09>0，由于f(1)·f(2)<0，所以根所在的区间为(1,2)．答案　(1,2)点评　解题的关键是ex与x＋2差的符号，构造函数f(x)＝ex－x－2，将求方程ex－x－2＝0的根所在的区间转化为求函数的零点问题，通过函数零点的判断使问题获解．　　　　　题型二　判断零点个数定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)

6、＝2008x＋log2008x，则函数f(x)的零点的个数为(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．2006解析　因为函数f(x)为R上的奇函数，所以f(0)＝0，因为log2008＝－1,2008>1，所以f＝2008＋log2008>0，所以，当x>0时，f(x)＝2008x＋log2008x，函数在区间内存在零点，又根据单调函数的定义可证明f(x)在(0，＋∞)上为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一个零点，从而函数在R上零点的个数为3，故选C

7、.答案　C点评　认识函数的性质是问题获解的关键，奇偶性保证函数的对称性，换句话说，有奇偶性的函数的零点(除原点外)是成对出现的．注意到函数为奇函数且在原点有定义，因此有f(0)＝0.其次是函数的单调性，保证了函数零点在单调区间内的唯一性，当然零点的判定方法也是问题获解不可或缺的部分．　　　题型三　用二分法求方程的近似解求方程x2＝2x＋1的一个近似解(精确度0.1)．解　设f(x)＝x2－2x－1.∵f(2)＝－1<0，f(3)＝2>0，∴在区间(2,3)内，方程x2－2x－1＝0有一解，记为x0.取2与3的平均数2

8、.5，∵f(2.5)＝0.25>0，∴20.∵