高中数学 第3章 函数的应用 §31 函数与方程 同步精品学案 新人教A版必修.doc

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1、§3.1 函数与方程1.函数零点的概念对于函数y=f(x)(x∈D),我们把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(x∈D)的零点.注意以下两点:(1)方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点.(2)函数零点的求法:代数法:求方程f(x)=0的实数根;几何法:对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数y=f(x)的图象联系起来,并利用函数的性质找出零点.2.函数零点的判断一般地,如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,并且有f(a)·f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点,即存在c

2、∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是f(x)=0的根.我们不妨把这一结论称为零点存在性定理.对函数零点存在性定理的理解(1)并不是所有的函数都有零点,如函数y=.(2)函数y=f(x)如果满足:①函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,②f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在区间(a,b)内有零点.(3)对于有些函数,即使它的图象是连续不断的,当它通过零点时,函数值也不一定变号.如函数y=x2有零点x0=0,但显然函数值没有变号.但是,对于任意一个函数,相邻的两个零点之间所有的函数值保持同号.(4)函数在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,且在区

3、间(a,b)上单调,若f(a)·f(b)<0,则函数y=f(x)在(a,b)内有且只有一个零点.但要注意:如果函数y=f(x)在[a,b]上的图象是连续不断的曲线,且x0是函数在这个区间上的一个零点,却不一定有f(a)·f(b)<0.3.二分法所谓二分法,就是通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法.用二分法求函数零点近似值的注意点(1)在第一步中要使:①区间[a,b]的长度尽量小;②f(a)、f(b)的值比较容易计算,且f(a)·f(b)<0.(2)根据函数的零点与相应方程根的关系,求函数的零点与求相应方程的根是等价的.

4、对于求方程f(x)=g(x),可以构造函数F(x)=f(x)-g(x),函数F(x)的零点即为方程f(x)=g(x)的根.    题型一 判断零点所在区间根据表格中的数据,可以判定方程ex-x-2=0的一个根所在的区间是________.x-10123ex0.3712.727.3920.09x+212345解析 令f(x)=ex-x-2,由图表知f(-1)=0.37-1=-0.63<0,f(0)=1-2=-1<0,f(1)=2.72-3=-0.28<0,f(2)=7.39-4=3.39>0,f(3)=20.09-5=15.09>0,由于f(1)·f(2)<0,所以根所在的区间为

5、(1,2).答案 (1,2)点评 解题的关键是ex与x+2差的符号,构造函数f(x)=ex-x-2,将求方程ex-x-2=0的根所在的区间转化为求函数的零点问题,通过函数零点的判断使问题获解.     题型二 判断零点个数定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2008x+log2008x,则函数f(x)的零点的个数为(  )A.1    B.2    C.3    D.2006解析 因为函数f(x)为R上的奇函数,所以f(0)=0,因为log2008=-1,2008>1,所以f=2008+log2008>0,所以,当x>0时,f(x)=2008x+log2008

6、x,函数在区间内存在零点,又根据单调函数的定义可证明f(x)在(0,+∞)上为增函数,因此在(0,+∞)内有且仅有一个零点.根据对称性可知函数在(-∞,0)内有且仅有一个零点,从而函数在R上零点的个数为3,故选C.答案 C点评 认识函数的性质是问题获解的关键,奇偶性保证函数的对称性,换句话说,有奇偶性的函数的零点(除原点外)是成对出现的.注意到函数为奇函数且在原点有定义,因此有f(0)=0.其次是函数的单调性,保证了函数零点在单调区间内的唯一性,当然零点的判定方法也是问题获解不可或缺的部分.   题型三 用二分法求方程的近似解求方程x2=2x+1的一个近似解(精确度0.1).解

7、 设f(x)=x2-2x-1.∵f(2)=-1<0,f(3)=2>0,∴在区间(2,3)内,方程x2-2x-1=0有一解,记为x0.取2与3的平均数2.5,∵f(2.5)=0.25>0,∴20.∵

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