高中数学 第一章1.6.2 垂直关系的性质目标导学 北师大版必修2

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1、6.2　垂直关系的性质学习目标重点难点1.在观察物体模型的基础上，进行操作确认，掌握直线和平面垂直，平面和平面垂直的性质定理．2．能运用性质定理解决一些简单问题．3．准确把握直线和平面、平面和平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系.重点：直线和平面垂直，平面和平面垂直的性质定理及其应用．难点：直线和平面垂直，平面和平面垂直的性质定理在证明题中的应用．疑点：线线垂直、线面垂直、面面垂直之间的内在联系.1．直线与平面垂直的性质定理(1)文字叙述：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．(2)符号表示：若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3

2、)图形表示：(4)作用：线⊥面线∥线．预习交流1直线与平面垂直除了上述性质外，还有哪些性质？提示：直线与平面垂直的性质还有：①一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于该平面内的所有直线；②两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面；③一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另一个平面；④垂直于同一直线的两个平面平行．预习交流2在一个工件上同时钻很多孔时，常用多头钻，多头钻杆都是互相平行的．在工作时，只要调整工件表面和一个钻杆垂直，工件表面就和其他钻杆都垂直，为什么？提示：根据两平行线中有一条垂直于一个平面，则另一条也

3、垂直于此平面，可推出若干平行杆中一个与工件表面垂直，其他都和工件表面垂直．2．平面与平面垂直的性质定理(1)文字叙述：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．(2)符号表示：若α⊥β，α∩β＝b，aα，a⊥b，则a⊥β.(3)图形表示：(4)作用：面面垂直线面垂直．预习交流3平面与平面垂直除了上述性质外，还有哪些性质？提示：平面与平面垂直还有如下性质．(1)如果两个平面互相垂直，那么经过一个平面内的一点垂直于另一个平面的直线在该平面内；(2)如果两个相交平面都与第三个平面垂直，那么它们的交线垂直于第三个平

4、面．预习交流4(1)若α⊥β，aα，bβ，则a⊥b成立吗？提示：不一定成立．a与b可能平行、相交或异面．只有当直线a垂直于α与β的交线时，才有a⊥b成立．(2)已知平面α，β和直线m，l，则下列命题中正确的是(　　)．A．若α⊥β，α∩β＝m，l⊥m，则l⊥βB.若α∩β＝m，lα，l⊥m，则l⊥βC.若α⊥β，lα，则l⊥βD.若α⊥β，α∩β＝m，lα，l⊥m，则l⊥β提示：根据面面垂直的性质定理逐一判断.选项A缺少了条件：lα；选项B缺少了条件：α⊥β；选项C缺少了条件：α∩β＝m，l⊥m；选项D具备了面面垂直性质定理的全部条件，故选

5、D.1．线面垂直性质的应用如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，点E，F分别在A1D，AC上，且EF⊥A1D，EF⊥AC.求证：EF∥BD1.思路分析：本题以正方体为载体，给出了EF分别与两条异面直线A1D，AC垂直，要证EF∥BD1，只需证明EF与BD1同垂直于某一平面即可，由条件可知这里当然选择平面AB1C.证明：如图所示，连接AB1，B1C，BD，B1D1.∵DD1⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴DD1⊥AC.又∵AC⊥BD且BD∩DD1＝D，∴AC⊥平面BDD1B1.∵BD1平面BDD1B1，∴BD1⊥AC.同理BD1⊥B1

6、C，∵B1C∩AC＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又EF⊥AC，且AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.求证：(1)MN∥AD1；(2)M是AB的中点．证明：(1)∵四边形ADD1A1为正方形，∴AD1⊥A1D.又∵CD⊥平面ADD1A1，∴CD⊥AD1.∵A1D∩CD＝D，∴AD1⊥平面A1DC.又∵MN⊥平面A1DC，∴MN∥AD1.(2)连接ON，在△A1DC中，A1O＝OD，

7、A1N＝NC，∴ON∥CD∥AB.∴ON∥AM.又∵MN∥OA，∴四边形AMNO为平行四边形．∴ON＝AM.∵ON＝AB，∴AM＝AB.∴M是AB的中点．证明线线平行常有如下方法：(1)利用线线平行定义：证共面且无公共点；(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线；(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行；(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直；(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行．特别提醒：“平行关系”与“垂直关系”在特定条件下是可以相互转化的．2．面面垂直性质的应用如图

8、，正方形ABCD所在平面与平面四边形ABEF所在平面互相垂直，AF∥BE，AF⊥EF，AF=EF=.求证：EA⊥平面ABCD.思路分析：解答本题的关键是证明EA⊥AB，为此应该在