高中数学 第三章 函数的应用学案 新人教a版必修1

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1、【三维设计】2015高中数学第三章函数的应用学案新人教A版必修1_3.1函数与方程3．1.1　方程的根与函数的零点函数的零点[提出问题]如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象：问题1：根据函数的图象，你能否得出方程f(x)＝0的根的个数？提示：方程f(x)＝0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由图可知，方程有3个根，即x＝－3，－1,2.问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标．[导入新知]1．函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0

2、的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．2．方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．[化解疑难]函数零点的本质(1)函数的零点的本质是方程f(x)＝0的实数根，因此，函数的零点不是点，而是一个实数．例如函数f(x)＝x＋1，当f(x)＝x＋1＝0时，仅有一个实数根x＝－1，所以函数f(x)＝x＋1有一个零点－1，由此可见函数f(x)＝x＋1的零点是一个实数－1，而不是一个点．(2)函数是否有零点是针对方程是否有实数根而言的，若方程没有实数根，则函数没有零点．函数零点的判断[

3、提出问题]函数f(x)＝x2－4x＋3图象如图．问题1：函数的零点是什么？提示：1,3.问题2：判断f(0)·f(2)与f(2)·f(4)的符号．提示：∵f(0)＝3，f(2)＝－1，f(4)＝3，∴f(0)·f(2)<0，f(2)·f(4)<0.[导入新知]函数零点的存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．[化解疑难]对函数零点存在性的探究(1)并不是

4、所有的函数都有零点，如函数y＝.(2)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)<0.则可判定函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(3)当函数y＝f(x)的图象在[a，b]上是连续的曲线，但是不满足f(a)·f(b)<0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点．求函数的零点[例1]　(1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；(3)f(x)＝2x－3；(4)f(x)＝1－lo

5、g3x.[解]　(1)令＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝的零点是x＝－3.(2)令x2＋2x＋4＝0，由于Δ＝22－4×1×4＝－12<0，所以方程x2＋2x＋4＝0无实数根，所以函数f(x)＝x2＋2x＋4不存在零点．(3)令2x－3＝0，解得x＝log23.所以函数f(x)＝2x－3的零点是x＝log23.(4)令1－log3x＝0，解得x＝3，所以函数f(x)＝1－log3x的零点是x＝3.[类题通法]函数零点的求法求函数f(x)的零点时，通常转化为解方程f(x)＝0，若方程f(x)＝0有实数根，则函数f(x)存在零点，该方程

6、的根就是函数f(x)的零点；否则，函数f(x)不存在零点．[活学活用]判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝－x2－4x－4；(2)f(x)＝；(3)f(x)＝4x＋5；(4)f(x)＝log3(x＋1)．解：(1)令－x2－4x－4＝0，解得x＝－2，所以函数的零点为x＝－2.(2)令＝0，解得x＝1，所以函数的零点为x＝1.(3)令4x＋5＝0，则4x＝－5<0，即方程4x＋5＝0无实数根，所以函数不存在零点．(4)令log3(x＋1)＝0，解得x＝0，所以函数的零点为x＝0.判断函数零点所在的区间[例2]　(1

7、)二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－101234y6m－4－6－6－4n6不求a，b，c的值，判断方程ax2＋bx＋c＝0的两根所在的区间是(　　)A．(－3，－1)和(2,4)B．(－3，－1)和(－1,1)C．(－1,1)和(1,2)D．(－∞，－3)和(4，＋∞)(2)函数f(x)＝lgx－的零点所在的大致区间是(　　)A．(6,7)　　　　　　　　B．(7,8)C．(8,9)D．(9,10)[解析]　(1)利用f(a)f(b)<0，则f(x)＝0在(a，b)内有根来判定．∵f(－3)＝6>

8、0，f(－1)＝－4<0，∴在(－3，－1)内必有根，又由f(2)＝－4<0，f(4)＝6>0，∴在(2,4)内必有根．故选A.(2)∵f(6)＝lg6－＝lg6－<0，f(7)＝lg7－<0