高中数学2.3.12.3.2数学归纳法数学归纳法应用举例学案新人教b版选修2

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1、2．3.1　数学归纳法2．3.2　数学归纳法应用举例1．了解数学归纳法的原理．(重点、易混点)2．掌握数学归纳法的步骤．(难点)3．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．(难点)[基础·初探]教材整理　数学归纳法阅读教材P69～P72，完成下列问题．数学归纳法的定义一个与________相关的命题，如果(1)_______________________________；(2)在假设当________________________时命题也成立的前提下，推出当n＝k＋1时命题也成立，那么可以断定，这个命题对n取第一个值后面的所有正整数成

2、立．【答案】　自然数　(1)当n取第一个值n0时命题成立(2)n＝k(k∈N＋，且k≥n0)判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　　)(2)数学归纳法的第一步n0的初始值一定为1.(　　)(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　　)【答案】　(1)×　(2)×　(3)√[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]用数学归纳法证明等式　(1)用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝

3、(n∈N＋)时，第一步验证n＝1时，左边应取的项是(　　)A．1　　　　　　　　B．1＋2C．1＋2＋3D．1＋2＋3＋4(2)用数学归纳法证明(n＋1)·(n＋2)·…·(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)(n∈N＋)，“从k到k＋1”左端增乘的代数式为__________.【导学号：05410051】【自主解答】　(1)当n＝1时，左边应为1＋2＋3＋4，故选D.(2)令f(n)＝(n＋1)(n＋2)…(n＋n)，则f(k)＝(k＋1)·(k＋2)…(k＋k)，f(k＋1)＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(2k＋1)(2k＋

4、2)，所以＝＝2(2k＋1)．【答案】　(1)D　(2)2(2k＋1)数学归纳法证题的三个关键点1．验证是基础找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1.2．递推是关键数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项．3．利用假设是核心在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子

5、写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．[再练一题]1．下面四个判断中，正确的是(　　)A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1B．式子1＋k＋k2＋…＋kn－1(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋kC．式子1＋＋＋…＋(n∈N＋)中，当n＝1时，式子的值为1＋＋D．设f(n)＝＋＋…＋(n∈N＋)，则f(k＋1)＝f(k)＋＋＋【解析】　A中，n＝1时，式子＝1＋k；B中，n＝1时，式子＝1；C中，n＝1时，式子＝1＋＋；D中，f(k＋1)＝f(

6、k)＋＋＋－.故正确的是C.【答案】　C用数学归纳法证明不等式　(1)用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)的过程中，由n＝k推导n＝k＋1时，不等式的左边增加的式子是__________．(2)证明：不等式1＋＋＋…＋<2(n∈N＋)．【精彩点拨】　(1)写出当n＝k时左边的式子，和当n＝k＋1时左边的式子，比较即可．(2)在由n＝k到n＝k＋1推导过程中利用放缩法，在利用放缩时，注意放缩的度．【自主解答】　(1)当n＝k＋1时左边的代数式是＋＋…＋＋，增加了两项与，但是少了一项，故不等式的左边增加的式子是＋－＝.【答案

7、】　(2)①当n＝1时，左边＝1，右边＝2，左边<右边，不等式成立．②假设当n＝k(k≥1且k∈N＋)时，不等式成立，即1＋＋＋…＋<2.则当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2＋＝<＝＝2.∴当n＝k＋1时，不等式成立．由①②可知，原不等式对任意n∈N＋都成立．[再练一题]2．试用数学归纳法证明上例(1)中的不等式．【证明】　①当n＝2时，＋＝>.②假设当n＝k(k≥2且k∈N＋)时不等式成立，即＋＋…＋>，那么当n＝k＋1时，＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋＋－＝＋＋－>＋＋－＝＋－＝＋>.这就是说，当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②可知，原不

8、等式对任意大于1的正整数都成立．归纳——猜想证明　已知数列{an}的前n项和为Sn，其中an＝且a1＝.(1)求a2，a3；(2)猜想数列{an}的通项公式，并证明．【精彩点拨】　(1)令n＝2,3可分别求