高中数学2.3.2离散型随机变量的方差学案新人教b版选修2

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1、2.3.2　离散型随机变量的方差1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念.2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.(重点)3.掌握方差的性质以及二点分布、二项分布的方差的求法，会利用公式求它们的方差.(难点)[基础·初探]教材整理1　离散型随机变量的方差的概念阅读教材P62例1以上部分，完成下列问题.离散型随机变量的方差与标准差名称定义意义方差一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值为x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则D(X)＝(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋

2、…＋(xn－E(X))2pn，叫做这个离散型随机变量X的方差.离散型随机变量的方差和标准差反映了离散型随机变量取值相对于期望的平均波动大小(或说离散程度).标准差D(X)的算术平方根叫做离散型随机变量X的标准差.1.下列说法正确的有________(填序号).①离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的概率的平均值；②离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的平均水平；③离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取值的波动水平；④离散型随机变量X的方差D(X)反映了X取值的波动水平.【解析】　①错误.因为离散型随机变量X的期望E(X)反映了X取

3、值的平均水平.②错误.因为离散型随机变量X的方差D(X)反映了随机变量偏离于期望的平均程度.③错误.因为离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的波动水平，而随机变量的期望E(X)反映了X取值的平均水平.④正确.由方差的意义可知.【答案】　④2.已知随机变量X，D(X)＝，则ξ的标准差为________.【解析】　X的标准差＝＝.【答案】　教材整理2　二点分布、二项分布的方差阅读教材P63例2以下部分，完成下列问题.服从二点分布与二项分布的随机变量的方差(1)若X服从二点分布，则D(X)＝p(1－p)；(2)若X～B(n，p)，则D(X)＝np

4、(1－p).若随机变量X服从二点分布，且成功概率P＝0.5，则D(X)＝________，E(X)＝________.【导学号：62980055】【解析】　E(X)＝0.5，D(X)＝0.5(1－0.5)＝0.25.【答案】　0.25　0.5[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：　解惑：　疑问2：　解惑：　疑问3：　解惑：　[小组合作型]离散型随机变量的方差的性质及应用　设在12个同类型的零件中有2个次品，抽取3次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不再放回，若以X和Y分别表示取出次品和正品的个数.(1)求

5、X的分布列、期望及方差；(2)求Y的分布列、期望及方差.【精彩点拨】　(1)可先求出X分布列，然后利用期望和方差公式求解；(2)可由Y分布列及其期望、方差、公式求解，也可由期望、方差性质求解.【自主解答】　(1)X的可能取值为0,1,2.若X＝0，表示没有取出次品，其概率为P(X＝0)＝＝，同理，有P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝.∴X的分布列为X012P∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝，D(X)＝2×＋2×＋2×＝＋＋＝.(2)Y的可能取值为1,2,3，显然X＋Y＝3.法一：P(Y＝1)＝P(X＝2)＝，P(Y＝2)＝P(X＝1)＝，P(Y＝

6、3)＝P(X＝0)＝，∴Y的分布列为Y123PE(Y)＝1×＋2×＋3×＝，D(Y)＝2×＋2×＋2×＝.法二：E(Y)＝E(3－X)＝3－E(X)＝，D(Y)＝D(3－X)＝(－1)2D(X)＝.1.由本例可知，利用公式D(aX＋b)＝a2D(X)及E(aX＋b)＝aE(X)＋b来求E(Y)及D(Y)，既避免了求随机变量Y＝aX＋b的分布列，又避免了涉及大数的计算，从而简化了计算过程.2.若X～B(n，p)，则D(X)＝np(1－p)，若X服从二点分布，则D(X)＝p(1－p)，其中p为成功概率，应用上述性质可大大简化解题过程.[再练一题]1

7、.为防止风沙危害，某地政府决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物.某人一次种植了n株沙柳，已知各株沙柳成活与否是相互独立的，成活率为p，设X为成活沙柳的株数，已知E(X)＝3，D(X)＝，求n，p的值.【解】　由题意知，X服从二项分布B(n，p)，由E(X)＝np＝3，D(X)＝np(1－p)＝，得1－p＝，∴p＝，n＝6.求离散型随机变量的方差、标准差　编号为1,2,3的三位学生随意入座编号为1,2,3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，求E(ξ)和D(ξ).【精彩点拨】　首先确定ξ的取值，然后求出ξ的分布列，

8、进而求出E(ξ)和D(ξ)的值.【自主解答】　ξ的所有可能取值为0,1,3，ξ＝0表示三位同学全坐错了，有2种情况，即编号为1,2,3的座位上分别坐了