高中数学《排列与组合》学案2 新人教a版选修2-3

《高中数学《排列与组合》学案2 新人教a版选修2-3》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、排列与组合学习要求：能根据具体问题的特征，选择分类加法计数原理或分步乘法计数原理推导排列数公式、组合数公式，并能解决简单的实际问题；会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题。学习目标：1．两个基本原理：（1）分类计数原理中的分类；（2）分步计数原理中的分步；2．排列：（1）排列定义，排列数；（2）排列数公式。3．组合：（1）组合的定义，排列与组合的区别；（2）组合数公式；（3）组合数的性质。4．二项式定理：（1）二项式展开公式；（2）通项公式。学习过程：例1．平面上给定10个点，任意三点不共线，由这10个点确定的直线中，无三条直线交于同一点（除原10点外），无两条直线互相平行。求：（

2、1）这些直线所交成的点的个数（除原10点外）。（2）这些直线交成多少个三角形。解法一：（1）由题设这10点所确定的直线是C102=45条。这45条直线除原10点外无三条直线交于同一点，由任意两条直线交一个点，共有C452个交点。而在原来10点上有9条直线共点于此。所以，在原来点上有10C92点被重复计数；所以这些直线交成新的点是：C452－10C92=630。（2）这些直线所交成的三角形个数可如下求：因为每个三角形对应着三个顶点，这三个点来自上述630个点或原来的10个点。所以三角形的个数相当于从这640个点中任取三个点的组合，即C6403=43486080（个）。解法二：（1）如图对给

3、定的10点中任取4个点，四点连成6条直线，这6条直线交3个新的点。故原题对应于在10个点中任取4点的不同取法的3倍，即这些直线新交成的点的个数是：3C104=630。（2）同解法一。点评：用排列、组合解决有关几何计算问题，除了应用排列、组合的各种方法与对策之外，还要考虑实际几何意义。例2．证明下列不等式：（1）已知a、b为正数，n∈N，则≥（）n；（2）已知a、b为正数，且+=1，则对于n∈N有（a+b）n-an-bn≥22n-2n+1。证明：（1）令a=x+δ，b=x－δ，则x=；an+bn=(x+δ)n+(x-δ)n=xn+Cn1xn-1δ+…+Cnnδn+xn-Cn1xn-1δ+…

4、(-1)nCnnδn=2(xn+Cn2xn-2δ2+Cn4xn-4δ4+…)≥2xn，即≥（）n（2）(a+b)n=an+Cn1an-1b+…+Cnnbn，又(a+b)n=bn+Cn1bn-1a+…+Cnnan上述两式相加得：2(a+b)n=(an+bn)+Cn1(an-1b+bn-1a)+…+Cnk(an-kbk+bn-kak)+…+Cnn(an+bn)(*)∵+=1，且a、b为正数，∴ab=a+b≥2∴ab≥4又∵ an-kbk+bn-kak≥2=2()n(k=1,2,…,n-1)∴2(a+b)n≥2an+2bn+Cn12()n+Cn22（）n+…+Cnn-12()n∴(a+b)n－

5、an-bn≥(Cn1+Cn2+…+Cnn-1)·（）n≥(2n－2)·2n=22n－2n+1点评：利用二项式定理的展开式，可以证明一些与自然数有关的不等式问题。题（1）中的换元法称之为均值换元（对称换元）。这样消去δ奇数次项，从而使每一项均大于或等于零。题（2）中，由对称位置二项式系数相等，将展开式倒过来写再与原来的展开式相加，这样充分利用对称性来解题的方法是利用二项式展开式解题的常用方法。复习智略：例3．在某次数学考试中，学号为的同学的考试成绩，且满足，则这4位同学的考试成绩的所有可能情况有几种？解：（1）若，则有种；（2）若，则有种，所以共有+=15种。变化一：若将题中条件改为：，其

6、它条件不变，则有几种情况？解：（1）若，则有种；（2）若，则有种；（3）若，则有种；（4）若，则有种；所以共有+2+=35种。变化二：若将题中条件改为：，其它条件不变，则有几种情况？解：（1）若3个连接符号中含0个等号，则有种；（2）若3个连接符号中含1个等号，则有种；（3）若3个连接符号中含2个等号，则有种；（4）若3个连接符号中含3个等号，则有种；所以共有+++=70种。推广：在某次数学考试中，学号为的同学的考试成绩，，且满足，则这位同学的考试成绩的所有可能情况有几种？解：共有+++种可能情况。联想：在的展开式中，的系数为+++，从而共有种可能情况。检测评估：1．有A、B、C、D、E

7、、F6个集装箱，准备用甲、乙、丙三辆卡车运送，每台卡车一次运两个。若卡车甲不能运A箱，卡车乙不能运B箱，此外无其它任何限制；要把这6个集装箱分配给这3台卡车运送，则不同的分配方案的种数为（）(A)168(B)84(C)56(D)422.若x∈R，n∈N*，定义：=x(x+1)(x+2)…(x+n-1),例如M3-5=(-5)·(-4)(-3)=-60,则函数f(x)=（）A.是偶函数不是奇函数B.是奇函数不是偶函数C.既是奇函数又是