高中数学《等比数列》学案1 苏教版必修5

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1、2.3等比数列教材解读（1）一、等比数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母表示．解读：1．“从第2项起”是因为首项没有“前一项”；2．公比等于从第二项起，每一项与它前一项的比，即或，分子分母的顺序不能颠倒；3．由等比数列的定义可得，等比数列的每一项都不能为0，公比也不能为0，即等比数列排斥0；4．如果一个数列不是从第2项起而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项的比等于同一常数，则此数列不是等比数列．这时可以说此数列从第2项起或从第3项起是一个等比数列；5．根据等比数列的定义，我们可

2、以判定一个数列是否是等比数列，即只需看或是否为一个与无关的常数．在用判定时，条件是，不要误认为无法判断，其实当时，，所以这种判定方法也是严谨的．二、等比中项定义：如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项．解读：1．满足，即，解得，因此，只有两个同号的数才有等比中项；2．由等比中项的定义可知一个等比数列从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前后两项的等比中项，因此，利用等比中项的定义也能证明一个数列是否为等比数列，即证明．三、等比数列的通项公式首项为，公比为的等比数列的通项公式为（其中，与均不为０）．解读：1．已知等比数列的首项和公比，可以求得数列中任意一项

3、；2．通项公式反映了之间的关系；3．在已知等比数列中任意一项及公比的前提下，使用也可求得等比数列中任意一项．四、等比数列与指数函数的关系等比数列的通项公式a可以整理为，当，且时，是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列的图象是函数的图象上一群孤立的点．同样也可以把等比数列的通项公式视为定义域为或它的真子集上的一个类指数函数．五、考查方式1．考查定义：利用等比数列或等比中项的定义证明一个数列是等比数列．2．考查性质：利用等比数列的性质求解或简化计算过程．3．计算问题：（1）求中的量，可根据通项公式及前项和公式列方程（组）求解，求解原则为“知三求二”；（2）与等差

4、数列的综合问题；（3）递推数列求通项公式问题转化为等比数列求通项公式问题；（4）应用问题．例　在等比数列中，，且，，则的值为_________．解析：设等比数列的公比为．途径一：依题意得解得∴．途径二：∵，，∴，∴，下同途径一．途径三：∵数列是等比数列，∴，∴．途径四：设，则数列是等差数列，其中，，．　　故．　　评注：途径一是常规解法，利用了等比数列的通项公式；途径二直接利用了性质；途径三综合利用了性质；途径四利用了与等差数列有关的性质．由此可以看出，在解决等比数列问题时，抓住性质可以快速、巧妙的进行求解．高中苏教数学⑤2.3等比数列教材解读（2）　　一、等比数列的前项和公式等比数列

5、的前项和公式为解读：1．当时，求和公式有两种形式，要注意它们的适用情况；2．等比数列的前项和公式可视为分段函数，在解答相关含参数数列求和时，的情形往往被忽略，这一点请同学们谨记；3．我们不但要记住前项和公式，还要弄清前项和公式的推导过程．二、等比数列的前项和的性质设是等比数列的前项和．1．当时，，可以看作（是不为的常数），特点为的系数和常数项互为相反数，根据这一点我们可以利用待定系数法求等比数列的前项和；2．，，，…（）成等比数列，公比为；3．当时，（注：）．三、等比数列前项和公式的推导课本中用两种方法推导了等比数列的前项和公式，我们要掌握如何巧妙地运用等比数列的定义或性质推出其前项

6、和公式．下面我们用另外两种方法来推导等比数列的前项和公式．1．等比定理法若，则；若，由等比数列的定义知，所以，即，解得．当时，也适合此式．故．　　2．恒等变形法．当时，；当时，．故四、考查方式1．考查性质等比数列的前项和的三个性质都是考查的热点．2．计算问题（1）等比数列有，，，，五个基本量，根据通项公式与前项和公式可列两个方程，因此，这五个量可“知三求二”；（2）与等差数列的综合问题．例　记等比数列的前项和为，已知，，则公比________．解法一：设数列的首项为，公比为，则有解得．解法二：∵数列是等比数列，∴可设，依题意，得解得．解法三：∵数列是等比数列，∴数列，，…是等比数列，

7、公比为，∴．解法四：∵数列是等比数列，∴，解得．评注：解法一是基本解法，解法二是依据性质1来解答的，解法三是依据性质2来解答的，解法四是依据性质3来解答的，显然运用性质的解法都比基本解法计算简单．