高中数学第1章解三角形1.2.1余弦定理1学案苏教版必修5

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1、1.2　余弦定理第1课时　余弦定理(1)1．掌握余弦定理的两种形式及证明余弦定理的向量方法．(重点)2．会运用余弦定理解决两类基本的解三角形问题．(难点)[基础·初探]教材整理1　余弦定理阅读教材P13“思考”以上部分，完成下列问题．三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.1．在△ABC中，若b＝1，c＝，A＝，则a＝________.　【解析】　a＝＝1.【答案】　12．

2、在△ABC中，若a＝5，c＝4，cosA＝，则b＝________.　【解析】　由余弦定理可知25＝b2＋16－2×4bcosA，即b2－b－9＝0，解得b＝6.【答案】　6教材整理2　余弦定理的变形阅读教材P13“思考”以下内容～P14，完成下列问题．1．余弦定理的变形cosA＝，cosB＝，cosC＝.2．余弦定理与勾股定理的关系在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2

3、∴B＝60°.【答案】　60°2．在△ABC中，若b2＋c2－a2<0，则△ABC必为________三角形.【导学号：91730008】【解析】　∵cosA＝<0，∴A∈(90°，180°)．∴△ABC必为钝角三角形．【答案】　钝角[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：_________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问2：_

4、________________________________________________解惑：_________________________________________________疑问3：_________________________________________________解惑：_________________________________________________[小组合作型]已知两边及一角解三角形　在△ABC中，已知a＝，b＝，B＝45°，解此三角形．【精彩点拨】　法一：直

5、接利用余弦定理求边、求角；法二：先利用正弦定理求角，再利用余弦定理求边．【自主解答】　法一：由余弦定理知b2＝a2＋c2－2accosB，∴2＝3＋c2－2·c，即c2－c＋1＝0，解得c＝或c＝.当c＝时，由余弦定理得cosA＝＝＝.∵0°b，∴A>B，∴A＝60°或120°

6、.当A＝60°时，得C＝75°.由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝3＋2－2××＝2＋，∴c＝＝.或用正弦定理求边c，由＝得c＝＝＝＝.当A＝120°时，得C＝15°，同理可求c＝，故A＝60°，C＝75°，c＝，或A＝120°，C＝15°，c＝.已知两边及一角，求第三边和其他角，存在两种情况：(1)已知两边及其中一边的对角，可利用余弦定理列出关于第三边的等量关系建立方程，运用方程的思想求得第三边，再求出其他角，可免去判断取舍的麻烦．(2)已知两边及其夹角，直接利用余弦定理求出第三边，然后利用正弦定理求出另

7、外两角．[再练一题]1．在△ABC中，若b＝3，c＝3，B＝30°，解此三角形.【导学号：91730009】【解】　法一　由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得32＝a2＋(3)2－2a×3×cos30°，∴a2－9a＋18＝0，得a＝3或6.当a＝3时，A＝30°，∴C＝120°；当a＝6时，由正弦定理得sinA＝＝＝1，∴A＝90°，∴C＝60°.法二　由bcsin30°＝3×＝知本题有两解．由正弦定理得sinC＝＝＝，∴C＝60°或120°.当C＝60°时，A＝90°，由勾股定理a＝

8、＝＝6；当C＝120°时，A＝30°，△ABC为等腰三角形，∴a＝3.综上所述，当a＝3时，A＝30°，C＝120°；当a＝6时，A＝90°，C＝60°.已知三边或三边关系解三角形　已知△ABC中，a∶b∶c＝2∶∶(＋1)，求三角形的各角大小．【精彩点拨】　设a＝2k，b＝k，c＝(＋1)k，代入cosA，cosB，cosC求解