高中数学第2章推理与证明2.1.1第2课时类比推理学案苏教版选修2

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1、第2课时 类比推理1.结合实例,理解类比推理的含义,能利用类比进行简单的推理.(重点、难点)2.区别归纳推理与类比推理,了解合情推理的合理性.(易混点)[基础·初探]教材整理1 类比推理阅读教材P67“例1”以上部分,完成下列问题.根据两个(或两类)对象之间在某些方面的相似或相同,推演出它们在其他方面也相似或相同,像这样的推理通常称为类比推理,简称类比法.其思维过程为:观察、比较→联想、类推→猜测新的结论1.判断正误:(1)类比推理是特殊到特殊的推理.(  )(2)类比推理的结论一定正确.(  )【答案】 (1)√ (2)×2.对命题“正三角形的内切圆切于三边中点”可类比猜想:正

2、四面体的内切球切于四面各正三角形的________.【解析】 “边的中点”类比为“各面的中心”.【答案】 中心教材整理2 合情推理阅读教材P68“练习”以上部分,完成下列问题.1.合情推理的含义根据已有的事实、正确的结论、实验和实践的结果,以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程称为合情推理.归纳推理和类比推理都是数学活动中常用的合情推理.2.合情推理的特点(1)合情推理的结论超越了前提所包容的范围,带有猜想的成分,因此推理所得的结论未必正确;(2)合情推理具有猜测和发现结论,探索和提供证明的思路和方向的作用.如图218所示,由若干个点组成形如三角形的图形,每条边(包括两个端

3、点)有n(n>1,n∈N*)个点,每个图形总的点数记为an,则a6=________,an=________(n>1,n∈N*).图218【解析】 依据图形特点,可知第5个图形中三角形各边上各有6个点,因此a6=3×6-3=15.由n=2,3,4,5,6的图形特点归纳得an=3n-3(n>1,n∈N*).【答案】 15 3n-3[质疑·手记]预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流:疑问1:_______________________________________________解惑:_______________________________________

4、________疑问2:_______________________________________________解惑:_______________________________________________疑问3:_______________________________________________解惑:_______________________________________________[小组合作型]数列中的类比推理 在等差数列{an}中,若a10=0,则有等式a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n(n<19,n∈N*)成立.类比上述性质,

5、相应地,在等比数列{bn}中,若b9=1,则有什么样的等式成立?【精彩点拨】 在等差数列与等比数列的类比中,等差数列中的和类比等比数列中的积,差类比商,积类比幂.【自主解答】 在等差数列{an}中,a10=0,∴a1+a2+…+an+…+a19=0,即a1+a2+…+an=-a19-a18-…-an+1.又由a10=0,得a1+a19=a2+a18=…=an+a20-n=an+1+a19-n=2a10=0,∴a1=-a19,a2=-a18,…,a19-n=-an+1,∴a1+a2+…+an=a1+a2+…+a19-n,若a9=0,同理可得a1+a2+…+an=a1+a2+…+a1

6、7-n,相应的,在等比数列{bn}中,若b9=1,则可得b1b2…bn=b1b2…b17-n(n<17,n∈N*).1.有关数列的类比推理必须寻找合适的类比对象,从等差、等比数列的定义、性质、通项公式与前n项和公式探求,充分挖掘事物的本质及内在联系.2.类比推理的一般步骤为:(1)找出两类对象之间可以确切表述的相似性(或一致性);(2)用一类对象的性质去推测另一类对象的性质,从而得出一个猜想;(3)检验这个猜想.[再练一题]1.若数列{an}(n∈N*)是等差数列,则有数列bn=(n∈N*)也是等差数列.类比上述性质,相应地:若数列{cn}(n∈N*)是等比数列,且cn>0,则数

7、列dn=________(n∈N*)也是等比数列.【解析】 和类比积,高类比开方,因此dn=【答案】 类比推理在几何中的应用 如图219所示,在平面上,设ha,hb,hc分别是△ABC三条边上的高,P为△ABC内任意一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,可以得到结论++=1.图219证明此结论,通过类比写出在空间中的类似结论,并加以证明.【精彩点拨】 三角形类比四面体,三角形的边类比四面体的面,三角形边上的高类比四面体以某一面为底面的高.【自主解答】 ==,同理,=,=

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