高中数学第2章推理与证明2.1.3推理案例赏析学案苏教版选修2

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1、2.1.3　推理案例赏析1.进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的紧密联系.利用合情推理和演绎推理进行简单的推理.(重点、难点)2.两种推理形式的具体格式.(易混点)[小组合作型]归纳推理的应用　观察如图2116所示的“三角数阵”：图2116记第n行的第2个数为an(n≥2，n∈N*)，请仔细观察上述“三角数阵”的特征，完成下列各题：(1)第6行的6个数依次为________、________、________、________、________、________；(2)依次写出a2、a3、a4、a5；(3)归纳出an＋1与an的关系式.【精

2、彩点拨】　(1)观察数阵，总结规律：除首末两数外，每行的数等于它上一行肩膀上的两数之和，得出(1)的结果.(2)由数阵可直接写出答案.(3)写出a3－a2，a4－a3，a5－a4，从而归纳出(3)的结论.【自主解答】　(1)由数阵可看出，除首末两数外，每行中的数都等于它上一行肩膀上的两数之和，且每一行的首末两数都等于行数.【答案】　6,16,25,25,16,6(2)a2＝2，a3＝4，a4＝7，a5＝11(3)∵a3＝a2＋2，a4＝a3＋3，a5＝a4＋4，∴由此归纳：an＋1＝an＋n.归纳推理的一般步骤归纳推理的思想过程大致是：实验、观察→概括、推广

3、→猜测一般性结论.该过程包括两个步骤：(1)通过观察个别对象发现某些相同性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想).[再练一题]1.观察下列各式：＋＝1，＋＋＋＝12，＋＋＋＋＋＝39，….则当n

4、＋＝m2－n2.【答案】　m2－n2类比推理的应用　通过计算可得下列等式：23－13＝3×12＋3×1＋1；33－23＝3×22＋3×2＋1；43－33＝3×32＋3×3＋1；…(n＋1)3－n3＝3×n2＋3×n＋1.将以上各等式两边分别相加，得(n＋1)3－13＝3(12＋22＋…＋n2)＋3(1＋2＋3＋…＋n)＋n，即12＋22＋32＋…＋n2＝n(n＋1)(2n＋1).类比上述求法，请你求出13＋23＋33＋…＋n3的值.【导学号：01580039】【精彩点拨】　解答本题要抓住各等式两边数的指数相类比.【自主解答】　∵24－14＝4×13＋6×12

5、＋4×1＋1，34－24＝4×23＋6×22＋4×2＋1，44－34＝4×33＋6×32＋4×3＋1，…　…(n＋1)4－n4＝4n3＋6n2＋4n＋1.将以上各式两边分别相加，得(n＋1)4－14＝4×(13＋23＋…＋n3)＋6×(12＋22＋…＋n2)＋4×(1＋2＋…＋n)＋n，∴13＋23＋…＋n3＝＝n2(n＋1)2.1.解题方法的类比通过对不同题目条件、结论的类比，从而产生解题方法的迁移，这是数学学习中很高的境界，需要学习者熟练地掌握各种题型及相应的解题方法.2.类比推理的步骤与方法(1)弄清两类对象之间的类比关系及类比关系之间的(细微)差别.

6、(2)把两个系统之间的某一种一致性(相似性)确切地表述出来，也就是要把相关对象在某些方面一致性的含糊认识说清楚.[再练一题]2.半径为r的圆的面积S(r)＝π·r2，周长C(r)＝2π·r，若将r看作(0，＋∞)上的变量，则(π·r2)′＝2π·r①，①式可用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数.对于半径为R的球，若将R看作(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子②：________；②式可用语言叙述为________.【解析】　因为半径为R的球的体积V(R)＝πR3，表面积S(R)＝4πR2，类比(πr2)′＝2πr，得′＝4πR2.因此②式

7、应为：′＝4πR2.且②式用语言叙述为：球的体积函数的导数等于球的表面积函数.【答案】　′＝4πR2　球的体积函数的导数等于球的表面积函数[探究共研型]合情推理与演绎推理的综合应用探究1　我们已经学过了等比数列，你有没有想到是否也有等积数列呢？类比“等比数列”，请你给出“等积数列”的定义.【提示】　如果一个数列从第2项起，每一项与它前一项的乘积是同一个常数，那么这个数列叫做等积数列，其中，这个常数叫做公积.探究2　若{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6，试写出{an}的通项公式及前n项和公式.【提示】　由于{an}是等积数列，且首项a1＝2，公积为6

8、，所以a2＝3，a3＝2，a4＝3，a5＝2，a6＝