苏教版选修1-2高中数学2.1.3《推理案例赏析》word学案

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1、www.ks5u.com2.1.3　推理案例赏析[学习目标]　1.通过对具体的数学思维过程的考察，进一步认识合情推理和演绎推理的作用、特点以及两者之间的联系.2.尝试用合情推理和演绎推理研究某些数学问题，提高分析问题、探究问题的能力．[知识链接]1．归纳推理的结论是否正确？它在数学活动中有什么作用？答　归纳推理的结论具有猜测的性质，结论不一定正确；它可以为数学活动的结论提供目标和方向．2．类比推理的结论是否一定正确？答　从类比推理的思维过程可以看出：类比的前提是观察、比较和联想，其结论只是一种直觉的、经验式的推测，它还只是一种猜想，结论的正确与否，有

2、待于进一步论证．3．合情推理与演绎推理有何异同之处？答　合情推理是从特殊到一般，思维开放，富于创造性，但结论不一定正确，是一种或然推理．演绎推理是从一般到特殊，思维收敛，较少创造性，当前提和推理形式都正确时，结论一定正确，是一种必然推理．合情推理为演绎推理确定了目标和方向，而演绎推理又论证了合情推理结论的正误，二者相辅相成，相互为用，共同推动着发现活动的进程．[预习导引]1．数学活动与探索数学发现活动是一个探索创造的过程，是一个不断地提出猜想、验证猜想的过程．2．合情推理和演绎推理的联系在数学活动中，合情推理具有提出猜想、发现结论、提供思路的作用，演

3、绎推理为合情推理提供了前提，对猜想作出“判决”或证明，从而为调控探索活动提供依据．要点一　运用归纳推理探求结论例1　已知数列的前4项为，1，，，试写出这个数列的一个通项公式．解　　把已知4项改写为，，，，记此数列的第n项为an，则有a1＝，a2＝，a3＝，a4＝，….据此猜测an＝.规律方法　运用归纳推理猜测一般结论，关键在于挖掘事物的变化规律和相互关系，可以对式子或命题进行适当转换，使其中的规律明晰化．跟踪演练1　下列各图均由全等的小等边三角形组成，观察规律，归纳出第n个图形中小等边三角形的个数为________．答案　n2解析　前4个图中小等边三

4、角形的个数分别为1,4,9,16.猜测：第n个图形中小等边三角形的个数为n2.要点二　运用类比推理探求结论例2　Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB于D，则BC2＝BD·BA(如图甲)．类比这一定理，在三条侧棱两两垂直的三棱锥P－ABC(如图乙)中，可得到什么结论？解　如图，在三棱锥P－ABC中，作PO⊥平面ABC，连结OB，OC，猜想下列结论：S＝S△OBC·S△ABC.证明：连结AO，并延长交BC于D，连结PD.PA⊥PB，PA⊥PC⇒PA⊥平面PBC.∵PD⊂平面PBC，BC⊂平面PBC，∴PA⊥PD，PA⊥BC.∵PO⊥平面ABC，AD⊂

5、平面ABC，BC⊂平面ABC，∴PO⊥AD，PO⊥BC.∴BC⊥平面PAD.∴BC⊥AD，BC⊥PD.S＝(BC·PD)2＝BC2·PD2，S△OBC·S△ABC＝BC·OD·BC·AD＝BC2·OD·AD.∵PD2＝OD·AD，∴S＝S△OBC·S△ABC.规律方法　在类比推理中，要提炼两类事物的共同属性．一般而言，提炼的共同属性越本质，则猜想的结论越可靠．跟踪演练2　如图，设△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，BC边上的高AD＝h.扇形A1B1C1中，＝l，半径为R，△ABC的面积可通过下列公式计算：(1)S＝ah；(2)S＝bcsin∠B

6、AC.运用类比的方法，猜想扇形A1B1C1的面积公式，并指出其真假．(1)________________________________________________________________________；(2)________________________________________________________________________．答案　(1)S＝lR　真命题(2)S＝R2sinA1　假命题要点三　运用演绎推理证明结论的正确性例3　在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝4an－3n＋1，n∈N*.(1)求证数列{

7、an－n}是等比数列；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)求证不等式Sn＋1≤4Sn恒成立(n∈N*)．(1)证明　由an＋1＝4an－3n＋1，得an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，n∈N*.∴＝4(n∈N*)．∴数列{an－n}是以a1－1，即2－1＝1为首项，以4为公比的等比数列．(2)解　由(1)可知an－n＝4n－1，∴an＝n＋4n－1.∴Sn＝a1＋a2＋…＋an＝(1＋40)＋(2＋41)＋…＋(n＋4n－1)＝(1＋2＋…＋n)＋(1＋4＋…＋4n－1)＝＋·4n－.(3)证明　由(2)知，Sn＋1－4Sn＝＋·4n＋1－－

8、4[＋·4n－]＝－2n(n＋1)＋1＝－≤0，∴Sn＋1≤4Sn恒成立(n∈N*)．规律方法　演绎推理的一