高中数学第2章推理与证明2.2.2间接证明学案苏教版选修2

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1、2.2.2　间接证明1.理解反证法的思考过程和特点，会运用反证法证明简单数学问题.(重点、难点)2.利用反证法证明时，对结论的假设否定.(易错点)[基础·初探]教材整理　间接证明阅读教材P85“例1”以上部分，完成下列问题.1.间接证明：(1)定义：不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立，这种不是直接证明的方法通常称为间接证明.(2)常用方法：反证法.2.反证法(1)基本过程：反证法证明时，要从否定结论开始，经过正确的推理，导致逻辑矛盾，从而达到新的否定(即肯定原命题).(2)证题步骤：1.判断正误：(1)反证法属于间接证明问题的一种方法.(　　)(2)反证法的实质是否定结论

2、导出矛盾.(　　)(3)反证法的证明过程既可以是合情推理也可以是一种演绎推理.(　　)(4)用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设应该是至少两个钝角.(　　)【答案】　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√2.用反证法证明命题“三角形的内角中至少有一个角不大于60°”时，正确的反设是____.【导学号：01580047】【解析】　“至少有一个角不大于60°”的否定为“所有三角形的内角均大于60°”.【答案】　假设三个内角均大于60°[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：__________________________

3、_____________________解惑：_______________________________________________疑问2：_______________________________________________解惑：_______________________________________________疑问3：_______________________________________________解惑：_______________________________________________[小组合作型]利用反证法证明否定性命

4、题　(1)用反证法证明：“若方程ax2＋bx＋c＝0，且a，b，c都是奇数，则方程没有整数根”，正确的假设是方程存在实数根x0为________.(2)已知三个正整数a，b，c成等比数列，但不成等差数列，求证：，，不成等差数列.【自主解答】　(1)要证明的结论是“方程没有整数根”，故应假设：方程存在实数根x0为整数.【答案】　整数(2)假设，，成等差数列，则＋＝2，即a＋c＋2＝4b.又a，b，c成等比数列，所以b2＝ac，即b＝，所以a＋c＋2＝4，所以a＋c－2＝0，即(－)2＝0，所以＝，从而a＝b＝c，所以a，b，c可以成等差数列，这与已知中“a，b，c不成等差数列”

5、相矛盾.原假设错误，故，，不成等差数列.1.用反证法证明否定性命题的适用类型结论中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等词语的命题称为否定性命题，此类问题的正面比较模糊，而反面比较具体，适合使用反证法.2.反证法证明问题的一般步骤[再练一题]1.(2016·晋州高二检测)设数列{an}是公比为q的等比数列，Sn是它的前n项和.求证：数列{Sn}不是等比数列.【证明】　假设数列{Sn}是等比数列，则S＝S1S3，即a(1＋q)2＝a1·a1(1＋q＋q2)，因为a1≠0，所以(1＋q)2＝1＋q＋q2，即q＝0，这与公比q≠0矛盾.所以数列{Sn}不是等比数列.用反证法证明存

6、在性问题　已知a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.【精彩点拨】　“不能都大于”的含义为“至少有一个小于或等于”其对立面为“全部大于”.【自主解答】　假设(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a都大于.∵a，b，c∈(0,1)，∴1－a>0,1－b>0,1－c>0.∴≥>＝.同理>，>.三式相加得＋＋>，即>，矛盾.所以(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能都大于.应用反证法常见的“结论词”与“反设词”当命题中出现“至多”“至少”等词语时，直接证明不易入手且讨论较复杂.这时，可用反证法证明，证明时常见的“结论词”与“反设词”如

7、下：结论词反设词结论词反设词至少有一个一个也没有对所有x成立存在某个x0不成立至多有一个至少有两个对任意x不成立存在某个x0成立至少有n个至多有n－1个p或q綈p且綈q至多有n个至少有n＋1个p且q綈p或綈q[再练一题]2.已知a，b，c，d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd>1，求证：a，b，c，d中至少有一个是负数.【证明】　假设a，b，c，d都是非负数，因为a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1，这与已知