高中数学第3章数系的扩充与复数的引入3.2复数的四则运算课堂导学案苏教版选修1

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1、3.2复数的四则运算课堂导学三点剖析各个击破一、复数代数形式的加减运算【例1】计算：(1-2i)-(2-3i)+(3-4i)-(4-5i)+…+(1999-2000i)-(2000-2001i).解法一：原式=(1-2+3-4+…+1999-2000)+(-2+3-4+5-…-2000+2001)i=-1000+1000i.解法二：(1-2i)-(2-3i)=-1+i,(3-4i)-(4-5i)=-1+i,……(1999-2000i)-(2000-2001i)=-1+i.将上述式子累加得原式=1000(

2、-1+i)=-1000+1000i.温馨提示复数的加减法，类似于多项式加减法中的合并同类项的过程.具体解题时，可适当地进行组合，简化运算.类题演练1设z1=x+2i,z2=3-yi(x、y∈R)，且z1+z2=5-6i,求x+yi.解:z1+z2=x+2i+3-yi=(x+3)+(2-y)i.∵z1+z2=5-6i,∴解得∴x+yi=2+8i.变式提升　1已知平行四边形中，三个顶点对应的复数分别是2+i,4+3i，3+5i,求第四个顶点对应的复数.解:如右图，设点Z1、Z2、Z3分别对应复数2+i,4+

3、3i,3+5i.(1)若Z1Z3为对角线，则,即z4-z1=z3-z2,∴z4=z3-z2+z1=(3+5i)-(4+3i)+(2+i)=1+3i.(2)若Z1Z2为对角线，则，即z4-z1=z2-z3,∴z4=z2-z3+z1=(4+3i)-(3+5i)+(2+i)=3-i.(3)若Z2Z3为对角线，则，即z4-z2=z3-z1,∴z4=z3-z1+z2=(3+5i)-(2+i)+(4+3i)=5+7i.二、复数代数形式的乘除运算【例2】已知x、y∈R,且，求x、y的值.解：可写成,5x(1-i)+2

4、y(1-2i)=5-15i,(5x+2y)-(5x+4y)i=5-15i.∴　温馨提示在进行复数除法运算时，通常把(a+bi)÷(c+di)写成的形式，再把分子与分母都乘复数（c-di），并进行化简整理.类题演练2已知z=(a>0)，且复数ω=z(z+i)的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数ω.解：ω=，∴,即a2-1=3.∵a>0,∴a=2,ω=+3i.变式提升　2计算:.解:==-i=i-i=0.三、共轭复数问题【例3】已知复数z满足z·--i（）=1-（），求z.思路分析：(1)将方程两边化成a

5、+bi的形式，根据复数相等的充要条件来解.(2)根据模的性质即

6、z

7、2=z和两个纯虚数的积为实数来解.解:方法一：设z=x+yi(x,y∈R)，则x2+y2-i［］=1-(),即x2+y2-3y-3xi=1+3i,由复数相等得解得或∴z=-1或z=-1+3i.方法二：∵z-i()=1-(),∴z-1=3i+3i,即

8、z

9、2-1=3i(+1)∈R,∴+1是纯虚数或0，可令=-1+ai(a∈R),∴

10、-1-ai

11、2-1=3i(ai),即a2=-3aa=0或a=-3,∴=-1或=-1-3i,故z=-1或z=-

12、1+3i.类题演练3设a、b为共轭复数，且(a+b)2-3abi=4-6i,求a和b.解:设a=x+yi，则b=x-yi，（x,y∈R）,由条件得：(x+yi+x-yi)2-3(x+yi)(x-yi)i=4-6i,即4x2-3(x2+y2)i=4-6i,由复数相等的充要条件，得：解得：∴变式提升　3计算(-)n+(-)n(n∈N).解:设ω=-，分以下三种情况：①当n=3k时，原式=ω3k+=1+1=2；②当n=3k+1时，原式=ω3k+1+=ω+=-1；③当n=3k+2时，原式=ω3k+2+=ω2+=

13、-1.综上，原式=(k∈Z).