高中数学第二章函数概念与基本初等函数i2.3映射的概念学案苏教版必修1

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1、2．3　映射的概念1．理解映射的概念及表达方法．2．会判断一个对应是否为映射．映射的概念一般地，设A、B是两个非空集合，如果按某种对应法则f，对于A中的每一个元素，在B中都有惟一的元素与之对应，那么，这样的单值对应就叫集合A到集合B的映射．记作f：A→B．若集合A有n个元素，集合B有m个元素，则集合A到集合B的映射有mn个．【做一做1－1】根据对应法则f：x→2x－1，写出图中给定元素的对应元素．(1)(2)答案：(1)1　3　5　(2)4　5　6【做一做1－2】已知映射f：A→B，其中集合A＝{－3，－2，－1,1,2,3,4}，集合B中的元素都是A中

2、的元素在映射f下的元素，且对任意的a∈A，在B中和它对应的元素是

3、a

4、，则集合B中的元素的个数是________．答案：41．怎样理解映射的概念？剖析：(1)映射定义中的两个集合A、B是有先后次序的，A到B的映射与B到A的映射是不同的．(2)映射是由集合A、B以及从A到B的对应法则f所确定的．(3)在一个映射中，在对应法则f的作用下，集合A中的任何一个元素a对应着集合B中的元素b．(4)符号“f：A→B”表示集合A到集合B的映射，其中对应法则f的具体内容可用汉字叙述，如“求正弦”“乘以2再加5”等．但在专业教材中，一般用比较抽象的符号来表示．(5)在一个

5、映射中，集合A、B可以是数集，也可以是点集或其他集合；集合A、B也可以是同一集合，但在确定的映射中，集合A、B的地位一般是不要求对等的．2．为什么说映射是一种特殊的对应？剖析：(1)映射也是两个集合A与B元素之间存在的某种对应关系．说其是一种特殊的映射，就是因为它只允许存在“一对一”与“多对一”这两种对应，而不允许存在“一对多”的对应．(2)映射中所允许的“一对一”与“多对一”这两种对应的特点，从A到B的映射f：A→B实际是要求集合A中的任一元素都必须对应于集合B中惟一的元素．但对集合B中的元素并无任何要求，即允许集合B中的元素在集合A中可能有一个元素与

6、之对应，可能有两个或多个元素与之对应，也可能没有元素与之对应．题型一映射的概念【例1】下列对应是不是从A到B的映射？(1)A＝Q，B＝{x∈Q

7、x＞0}，f：x→

8、x

9、；(2)A＝B＝N*，f：x→

10、x－2

11、；(3)A＝{x∈N

12、x≥2}，B＝{y∈Z

13、y≥0}，f：x→y＝x2－2x＋1；(4)A＝{x

14、x＞0}，B＝{y

15、y∈R}，f：x→y＝±．解：(1)中，当x＝0∈A时，

16、x

17、＝0B，即A中的元素0按照对应法则在B中找不到应该对应的元素，故(1)不是映射．(2)中，当x＝2∈A时，

18、x－2

19、＝0B，与(1)类似，(2)也不是映射．(3)中，因为

20、y＝(x－1)2≥0，所以对任意x，总有y≥0；又当x∈N时，x2－2x＋1必为整数，即y∈Z．所以当x∈A时，x2－2x＋1∈B，且对A中每一个元素x，在B中都有惟一的y与之对应，故(3)是映射．(4)中，任意一个x都有两个y与之对应，故不是映射．反思：给定两集合A、B及对应法则f，判断是否是从集合A到集合B的映射，其基本方法是利用映射的定义．用通俗的语言讲：A→B的对应有“多对一”“一对一”及“一对多”，前两种对应是A→B的映射，而后一种不是A→B的映射．题型二映射的个数问题【例2】已知M＝{a，b，c}，N＝{－2,0,2}，且从M到N的映射满足f

21、(a)＞f(b)≥f(c)，试确定这样的映射f的个数为__________．解析：因为从M到N的映射满足f(a)＞f(b)≥f(c)，所以，(1)当f(a)＝2时，有或或(2)当f(a)＝0时，有综上，从M到N满足f(a)＞f(b)≥f(c)的映射f的个数是4．答案：4反思：对于这类有条件的映射问题，求解时要注意考虑周到，注意分情况讨论，切勿遗漏情况．【例3】已知A＝{1,2,3,4}，B＝{6,7}，则以A为定义域，B为值域的不同函数的个数为__________．解析：当A中有三个元素对应B中元素6时，另一个元素必须对应B中元素7，这样可组成4个满足题

22、意的不同函数；当A中有三个元素对应B中元素7时，另一个元素必须对应B中元素6，这样可组成4个满足题意的不同函数；当A中有两个元素对应B中元素6时，剩下两个元素必对应7，这样可组成6个满足题意的函数．所以共可组成4＋4＋6＝14(个)不同函数．答案：14反思：求解此题要特别注意集合B必须为函数的值域的特别要求，它实际是要求集合B恰好是集合A中的所有元素所对应的元素组成的．题型三映射的应用【例4】为了增加破译密文的难度，有一种密码把英文的明文按两个字母一组分组，如果最后剩一个字母，则任意添一个字母，拼成一组．例如Iamyourfriend添一个o，分组为：I

23、amyourfriendo，得到，，，，，，．其中9表示I在26个英文字母中的序