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时间:2018-12-17
《高中数学(基础预习+课堂探究+达标训练)2.3.2 幂函数的图象和性质导学案 湘教版必修1》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、2.3.2 幂函数的图象和性质学习目标重点难点1.能记住幂函数的概念,会判断一个函数是否是幂函数;2.能画出幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=,y=的图象,会分析它们各自的性质;3.能记住当α>0和α<0时,幂函数y=xα的性质,并能运用性质解决问题.重点:幂函数的定义以及幂函数的图象与性质;难点:当α>0和α<0时,幂函数y=xα的性质及其应用.疑点:幂函数与指数函数的比较.1.幂函数的概念一般来说,当x为自变量而α为非0实数时,函数y=xα叫作(α次的)幂函数.预习交流1幂函数与指数函数有何
2、区别?提示:幂函数y=xα的底数为自变量,指数是常数,而指数函数正好相反,指数函数y=ax(a>0,a≠1)中,底数是常数,指数是自变量.预习交流2函数y=与y=是否是幂函数?提示:是.y=与y=的解析式经改写,均可化为幂函数y=xα的形式,y==x-1,y==.2.幂函数的图象六个常见幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=,y=,y=在同一直角坐标系下的图象如下图:预习交流3从上面的图象分析,哪些函数是奇函数?哪些函数是偶函数?哪些函数在(0,+∞)上单调递增?哪些函数在(0,+∞)上单调递减?提示:y
3、=x,y=x3,y=是奇函数,y=x2,y=是偶函数,y=是非奇非偶函数;y=x,y=x2,y=x3,y=在(0,+∞)上都是递增的,y=,y=在(0,+∞)上是递减的.3.幂函数的性质(1)当α>0时,幂函数y=xα在区间[0,+∞)上有如下性质:①都经过两个点(0,0)和(1,1),即0α=0,1α=1;②都是递增函数;③幂函数y=xα与直线y=x有如下关系:0<x<1x>1α>1在y=x的下方在y=x的上方0<α<1在y=x的上方在y=x的下方(2)当α<0时,幂函数y=xα在区间(0,+∞)上有如
4、下性质:①图象都经过(1,1)点,即1α=1;②都是递减函数;③图象向上与y轴正向无限接近,向右与x轴正向无限接近.预习交流4幂函数的图象能否出现在第四象限?提示:对幂函数y=xα而言,当x>0时,必有y>0,故幂函数图象不过第四象限.一、幂函数的概念已知函数y=(m2+2m-2)xm+2+2n-3是幂函数,求m,n的值.思路分析:根据幂函数的定义,应有m2+2m-2=1,2n-3=0,从而可求m,n的值.解:∵函数y=(m2+2m-2)xm+2+2n-3是幂函数,由幂函数定义得解得m=-3或1,n=.1
5、.下列函数中是幂函数的是( )A.y=x2x B.y=2xC.D.y=3x+2答案:C2.幂函数f(x)的图象经过点(8,4),则f(x)=________.答案:解析:∵f(x)是幂函数,∴设f(x)=xα.又∵f(x)的图象过点(8,4),∴8α=4,α=.∴f(x)=.1.形如y=xα的函数叫幂函数,这里需有:①系数为1,②指数为一常数,③后面不加任何项.例如y=3x,y=xx+1,y=x2+1均不是幂函数,再者注意与指数函数的区别,例如:y=x2是幂函数,y=2x是指数函数.2.由于幂函数的解
6、析式中只含有一个参数α,因此只需一个独立的条件即可确定其解析式,当已知幂函数经过某一点时,可采用待定系数法求出解析式.二、幂函数的图象函数y1=x5,y2=,y3=x4,y4=x-2,的图象分别是下列图象①②③④⑤中之一,则函数y1,y2,y3,y4,y5的图象依次是__________.思路分析:根据幂函数的性质进行分析判断.答案:⑤①②④③解析:从函数的奇偶性分析,函数y1,y2是奇函数,可能对应图象①,⑤;y3,y4是偶函数,可能对应图象②,④;y5不具有奇偶性,只能对应图象③.从函数的单调性分析,
7、函数y1在区间[0,+∞)上是增函数,对应图象⑤,函数y2在区间(0,+∞)上是减函数,对应图象①,函数y3在区间[0,+∞)上是增函数,对应图象②,函数y4在区间(0,+∞)上是减函数,对应图象④.所以函数y1,y2,y3,y4,y5的图象依次是⑤①②④③.如图,图中曲线是幂函数y=xα在第一象限的大致图象.已知α取-2,,,2四个值,则相应于曲线C1,C2,C3,C4的α的值依次为( ).A.-2,-,,2B.2,,-,-2C.-,-2,2,D.2,,-2,-答案:B幂函数的图象和性质可类比五个常见
8、幂函数的图象和性质记忆:(1)当α<0时,函数图象与坐标轴没有交点,类似于y=x-1的图象;(2)当0<α<1时,函数图象向x轴弯曲,类似于y=的图象;(3)当α>1时,函数图象向y轴弯曲,类似于y=x3的图象,而且逆时针方向幂指数在增大.再结合函数的奇偶性可得一般幂函数的图象及性质.三、幂值的大小比较比较下列各组数中两个幂的值的大小:(1)0.5,0.5;(2)-1,-1.思路分析:由幂函数的性质可知y=x0.5在[0,+∞
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