人教版高三数学函数的单调性、反函数知识精讲

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1、高三数学函数的单调性、反函数知识精讲一.本周教学内容：函数的单调性、反函数【基本知识】一.函数的单调性1.函数的单调性及单调区间（1）增函数：（2）减函数：单调区间：在某个区间M上的递增函数或递减函数统称在区间M上的单调函数，而这个区间M称为单调区间。图像特征：单增函数从左至右逐渐上升，单减函数从左至右逐渐下降。注意：单调性必须以范围为前提，奇偶具有整体性，而单调性具有局部性。2.基本函数的单调性（1）一次函数y=kx+b，当k>0时为定义域上的增函数；当k<0时为定义域上的减函数。（2）二次函数y=ax2+bx+c，当a>0，在k<0，在（－∞，0）单增，在（0，＋∞）单增

2、。（4）指数函数y=ax，当a>1时，在R上单增，当01时，在（0，＋∞）单增，当00时，在（0，＋∞）上单减，x∈（－∞，0）上的情形可借助函数的定义域和奇偶性判断。3.复合函数的单调性（不要求证明）规律如下表：函数单调性增减增减增减减增增增减减4.单调性的判断与证明：（1）范围是前提（先明确在某区域内）（2）定义即方法（用定义证明）（3）步骤：第三步：由定义得结论其中关键在于第二步证明，常用方法是作差→变形→判断符号。二

3、.反函数1.存在条件：若函数y=f(x)的定义域为A，值域为B，对于B中每一个元素y0，在A中都有唯一确定的x0与之对应，则函数y=f(x)存在反函数记为y=f-1(x)，否则，就不存在反函数，由定义有如下结论：（1）定义域上的单调函数必有反函数；（2）奇函数的反函数仍为奇函数；（3）定义域为非单元素集的偶函数不存在反函数；（4）周期函数不存在反函数。2.互为反函数的图像之间的关系互为反函数的图象关于直线y=x对称有如下结论：（1）反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域。（3）函数y=f(x)与x=f-1(y)的图像完全相同（因为只是改变了x、y之间的表达

4、方式，而没有改变其本质关系，故视为同一函数，即y=f(x)Ûx=f-1(y)互换x，y，y=f-1(x)）为y=f(x)或x=f-1(y)的反函数。（4）互为反函数的两个函数具有相同的单调性和奇偶性。3.反函数的求法步骤：（1）确定原函数的值域，也就是反函数的定义域。（2）由y=f(x)的解析式求出x＝f－1(y)。（3）互换x，y得y=f－1(x)，并注明定义域。注意：对于分段函数，先分别求各段上的反函数，然后合并在一起（分段函数的反函数仍然是分段函数）。【例题分析】例1.已知函数y=f(x)在定义域[－1，1]上是奇函数，又是减函数。（1）证明：若x1+x2=0显然不等式

5、成立，若x1+x2<0，则－10时，原不等式也成立。（2）解：由函数单调减，故可得以下不等式组：故所求a的取值范围是[0，1）小结：本题第一问证明时用了分类的方法，这在有关函数奇偶性的这类题中较常见，因奇偶函数本质是对称函数，可先讨论或证明其中一个区间的性质，然后利用对称性得其对称区间性质，当然对于每一个分类而言需用函数的单调性加以解决，对于第二问其本质是解不等式，必须利用函数的单调性，应注意其在定义域内和单调区间内才能正确求解。例2.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1且对任意的a，b∈R

6、，有f(a+b)=f(a)f(b)。（1）证明：f(0)=1。（2）证明：对任意的x∈R，恒有f(x)>0。（3）证明：f(x)是R上的增函数。（4）若f(x)f(2x－x2)>1，求x的取值范围。（1）证明：令a=b=0，则f(0)=f2(0)（2）证明：当时，有对，恒有（3）证明：∴f(x)是R上的增函数。又f(x)是R上的增函数小结：本题最大限度地体现对题目条件的灵活运用，如（3）中，f(x2)=f(x2－x1+x1)等都具有一定的技巧性，希同学们认真掌握。解：（1）由f(0)=0得a=1（另解：由f(－x)＝－f(x)Þa=1）小结：1°对于奇函数，若f(0)有意义，

7、则f(0)=0，可以作为奇函数性质用，有时比用f(－x)＝－f(x)简单。2°注意，求f－1(x)的步骤，应先求出f(x)的值域，即f－1(x)的定义域，最后必须注明f－1(x)的定义域（无需用集合形式）。【模拟试题】一.选择题：1.函数，当时是增函数，当时为减函数，则的值等于（）A.B.1C.17D.252.已知函数在上是增函数，函数是偶函数，则（）A.B.C.D.3.设函数，则的定义域是（）A.B.C.D.R4.已知，则等于（）A.2B.4C.8D.12二.填空题：5.函数的反函数是________