八年级数学菱形 同步练习3华师版

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1、菱形(3)【基础知识精讲】　　定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．　　定理1：四边都相等的四边形是菱形．　　定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．　　【重点难点解析】　　1．菱形的性质　　(1)菱形具有平行四边形的一切性质；　　(2)菱形的四条边都相等；　　(3)菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；　　(4)菱形是轴对称图形．　　2．菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半． 　　A．重点、难点提示　　1．理解并掌握菱形的概念，性质和判别方法；（这是重点，也是难点，要掌握好）　　2．经历探索菱形的性质和判别条件的过程，在操作活动和

2、观察、分析过程中发展学生的主动探究习惯和初步的审美意识，进一步了解和体会说理的基本方法；　　3．了解菱形的现实应用和常用的判别条件；　　4．体会特殊与一般的关系．　　B．考点指要　　菱形是特殊的平行四边形，其性质和判别方法是中考的重要内容之一．　　一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．　　菱形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质．除具有平行四边形的一切性质外，菱形还具有以下性质：　　①菱形的四条边都相等；　　②两条对角线互相垂直平分；（出现了垂直，常与勾股定理联系在一起）　　③每一条对角线都平分一组内角．（出现了相等的角，常与角平分线联系在一起）

3、　　菱形是轴对称图形，它的两条对角线所在直线是它的两条对称轴．（不是对角线，而是其所在直线，因为对称轴是直线，而对角线是线段）　　菱形的判别方法：（学会利用轴对称的方法研究菱形）　　①一组邻边相等的平行四边形是菱形；　　②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；　　③四条边都相等的四边形是菱形．【难题巧解点拨】　　例1：如图4-24，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，CE平分∠ACB，交AD于G，交AB于E，EF⊥BC于F．求证：四边形AEFG是菱形．　　思路分析　　由已知可知，图中有平行线，就可证角相等、线段相等，因此，可先证四边形AEFG

4、是平行四边形，再证一组邻边相等．　　证明：∵∠BAC=90°，EF⊥BC，CE平分∠ACB，　　∴AE=EF，∠CEA=∠CEF．　　（这是略证，并不是完整的证明过程）　　∵AD⊥BC，EF⊥BC，　　∴EF∥AD，（垂直于同一条直线的两条直线互相平行）　　∴∠CEF=∠AGE，（两直线平行，内错角相等）　　∴∠CEA=∠AGE，　　∴AE=AG，　　∴EF∥AG，且EF=AG，　　∴四边形AEFG是平行四边形．（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）　　又∵AE=EF，　　∴平行四边形AEFG是菱形．　　例2：已知菱形的周长为20cm，一条对角线

5、长为5cm，求菱形各个角的度数．　　已知：菱形ABCD中，AB+BC+CD+DA=20cm，对角线AC=5cm．求∠ADC、∠ABC、∠BCD、∠DAB的度数．　　思路分析　　利用菱形的四条边相等，可求出各边长，从而得到等边三角形，如图4-25．　　解：在菱形ABCD中，　　∵AB=BC=CD=DA，　　又AB+BC+CD+DA=20cm，　　∴AB=BC=CD=DA=5cm，　　又∵AC=5cm，　　∴AB=BC=AC，CD=DA=AC，　　∴△ABC和△DAC都是等边三角形，　　（本题将边之间的长度关系转化为角的关系）　　∴∠ADC=∠ABC=6

6、0°，∠BCD=∠DAB=120°．　　例3：如图4-26，在平行四边形ABCD中，∠BAE=∠FAE，∠FBA=∠FBE．求证：四边形ABEF是菱形．　　证法一：∵AF∥BE，　　∴∠FAE=∠AEB（两直线平行，内错角相等）　　又∵∠BAE=∠FAE，　　∴∠BAE=∠AEB，　　∴AB=BE．（等角对等边）　　同理，AB=AF，BE=EF，　　∴AB=BE=EF=AF，　　∴四边形ABEF是菱形．（四条边都相等的四边形是菱形）　　证法二：∵AF∥BE，　　∴∠FAE=∠AEB，　　又∵∠BAE=∠FAE，　　∴∠BAE=∠AEB，∴AB=BE．

7、　　又∵∠FBA=∠FBE，　　∴AO=OE，AE⊥FB，（等腰三角形三线合一）　　同理，BO=OF，　　∴四边形ABEF是菱形．（对角线互相垂直平分的四边形是菱形）　　（你还有其他的证明方法吗？不妨试一下）　　例4：菱形的两邻角之比为1：2，边长为2，则菱形的面积为__________．　　思路分析　　本题主要考查菱形的性质和面积公式的应用：　　解法一：如图4-27，　　∠B：∠A=1：2，　　∵四边形ABCD是菱形，　　∴AD∥BC，　　∴∠A+∠B=180°，　　∴∠B=60°，∠A=120°，　　过A作AE⊥BC于E，　　∴∠BAE=30°，

8、　　，（直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半）　　，（勾股定理）　　．（平行四边形的面积计算方法