初三数学圆和圆的位置关系知识精讲 北京实验版

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1、初三数学圆和圆的位置关系知识精讲一.本周教学内容：第二十四章圆（下）第三节圆和圆的位置关系二.教学目标：1、掌握圆和圆的五种位置关系。2、会用数量关系判定两圆的位置关系。3、掌握相切两圆和相交两圆的性质。三.教学重点、难点：（一）重点：1、两圆的位置关系和数量关系可转换。2、相切两圆和相交两圆的性质。（二）难点：两圆的位置关系和数量关系的转换。四.教学过程：（一）知识点：1、圆和圆的位置关系：①两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部（如图1），两圆相外离。图1②两圆外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的点都在另一个圆的外部，两圆相外

2、切（如图2），称它们的公共点为切点。图2③两圆相交：两个圆有两个公共点，两圆相交（如图3）图3④两圆相内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆内部。两圆相内切，称它们的公共点为切点（如图4）图4⑤两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆相内含（如图5）图5注：据交点的个数，两圆的位置关系分为三大类：相离相切相交2、两圆的位置关系与两圆半径、圆心距之间的数量关系。设两圆半径分别为和，圆心距为d，则（1）两圆外离（2）两圆外切（3）两圆相交（4）两圆内切（5）两圆内含注：当d=0时，两圆为同心圆是属于内含的特殊情况。3、

3、相切两圆的性质：如果两圆相切，那么切点在连心线上。如图，圆和圆相切（包括内切和外切）于点A，则，A三点在同一直线上。4、相交两圆的性质：相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦。如图，圆和圆相交于A、B两点，联结AB（公共弦）作直线，则并且平分AB。例1.已知圆A和圆B相切，两圆的圆心距为8cm，圆A的半径为3cm，则圆B的半径是多少？解：设圆B的半径为rcm当圆A与圆B外切时，，∴r=5cm当圆A与圆B内切时，（负值舍去）∴圆B的半径为5cm或11cm。例2.已知，如图，圆O与圆相交于M、N点，P是AMB的中点，过P、N点作直线交两圆于C、D点，求证：PC=PD。分析：欲证观察图形

4、，∠CPA=∠DPB由已知PA=PB，可证证明：连结AC、DB、MN∵C、A、M、N四点在同一圆上∴∠A=∠N同理可证∠N=∠B∴∠A=∠B∵P是AB中点∴PA=PB在△PCA和△PDB中PA=PB，∠A=∠B，∠APC=∠BPD∴PC=PD例3.已知：如图，圆和圆外切于P点，过P点作直线交圆O1、圆O2于A、B，联结，。（1）试问：与有怎样的位置关系？并说明理由。（2）若将圆与圆外切于P改为内切于P，（1）的结论是否成立？为什么？分析：猜想，因此应证∠A=∠B，两圆相切作连心线，可得两个等腰三角形，由等腰三角形的性质证明∠A=∠B。解：（1）与的位置关系为平行理由如下：作连心线

5、，则必过P点∴∠A=∠1，∠B=∠2∵∠1=∠2∴∠A=∠B∴（2）如图的结论仍成立作连心线，则必过点P∴∠A=∠，∠=∠∴∠A=∠例4.已知：圆的半径为15，圆的半径为13，圆、圆交于A、B两点，且AB=24，求两圆的圆心距。分析：题目未给出图形，画图时要考虑两个圆心与公共弦的多种位置关系，再运用相交两圆的性质求解。解：若圆心，在公共弦AB的两侧，如图a，图（a）设交AB于H，联结∴若圆心，在公共弦的同侧，如图b图（b）同理可得综上所述，两圆的圆心距为14或4。小结：圆和圆的位置关系重点在于两圆位置关系的图形描述及d、、的关系，和相交两圆，和相切两圆，应注意基本概念的掌握，在此

6、基础上，在解决问题过程中，应注意所学圆的知识、方法和直线形综合，合理应用。（答题时间：30分钟）1、填空：（1）如果两圆没有公共点，则两圆的位置关系是__________。（2）两圆半径分别为3和7且圆心距为5，则两圆的位置关系是__________。（3）半径为1cm和5cm的两个圆相切，则圆心距为__________。（4）圆和圆的半径之比是5：7，并且两圆外切时，圆心距为6，则圆的半径是__________，圆的半径是__________。（5）半径为5和4的两圆相交，公共弦长为6，则圆心距为__________。（6）圆和圆交于A、B两点，，则四边形的面积是_______

7、___。（7）圆和圆的半径是方程的两个根，且，则圆和圆的位置关系是___________。（8）两个同心圆，大圆半径为5，小圆半径为2，与大圆内切且与小圆外切的圆半径为_________，与大圆、小圆都内切的圆的半径为__________。2、解答题：（1）已知：如图，圆和圆相交于A、B，它们的半径分别为2和，公共弦AB长为2，若圆心在AB同侧，求∠的度数。（2）已知：如图，圆与半径为4的圆内切于A，圆经过圆心，作圆的直径BC交圆于D，EF为过点A的公切线，若，求∠BAF的度数。