初三数学三角形外角的性质及应用

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1、初三数学三角形外角的性质及应用蔡志武阮正法http://www.DearEDU.com角是平面几何中基本的、重要的概念之一，也是学好直线形和圆的基础。本文谈谈三角形外角的性质及应用。一.三角形外角的概念及特征如图1，像∠ACD那样，三角形的一边与另一条边延长线组成的角叫三角形的外角。图1外角特征：（1）顶点在三角形的一个顶点上，如∠ACD的顶点C是△ABC的一个顶点；（2）一条边是三角形的一边，如∠ACD的一条边AC正好是△ABC的一条边；（3）另一条边是三角形某条边的延长线如∠ACD的边CD是△ABC的BC边的延长线。二.性质1.三角形的外角与它相邻的内角互补。2.三角形的一个外角等

2、于和它不相邻的两个内角的和。3.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角。4.三角形的外角和等于360°。三.应用1.求角的度数例1.（2005年四川省南充中考）一个三角形的两个内角分别是55°和65°，这个三角形的外角不可能是（）A.115°B.120°C.125°D.130°解析：如图2，∠A的外角为：180°=125°。∠B的外角为：180°－65°=115°∠ACB的外角为：55°+65°=120°所以选D。图2例2.（2005年浙江省宁波市中考）如图3，AB//CD，∠B=23°，∠D=42°，则∠E=（）A.23°B.42°C.65°D.19°图3解析：延长BE交CD于

3、F因为AB//CD所以∠1=∠B=23°∠BED是△EDF的外角则∠BED=∠1+∠D=23°+42°=65°故选C。例3.（2006年重庆市中考）如图4，AB=AC，∠BAD=，且AE=AD，则∠EDC=（）A.B.C.D.图4解析：设∠EDC=x°因为∠ADC是△ABD的外角所以∠ADC=∠ABC+∠BAD即∠ADE+x=∠ABC+（1）因为AB=AC，AD=AE所以∠B=∠C，∠ADE=∠AED而∠AED是△DEC的外角所以∠AED=∠EDC+∠C即∠AED=x+∠C（2）将（2）代入（1）得：所以所以选A。2.判定三角形的形状例4.（2003年成都市中考）已知三角形的一个外角小

4、于与它相邻的内角，那么这个三角形是（）A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上三种情况都有可能解析：如图5，在三角形ABC中，∠BAC的外角∠CAD<∠BAC而∠CAD+∠BAC=180°即：∠CAD=180°－∠BAC所以180°－∠BAC<∠BAC所以∠BAC>90°故选C图53.证明两角相等例5.（2002年福建省龙岩市中考）如图6，在△ABC中，AB=AC，D、E分别在BC、AC边上，且∠ADE=∠B，AD=DE。求证：△ADB≌△DEC。图6分析：因为∠ADC是△ADB的外角所以∠ADC=∠B+∠BAD而∠ADE=∠B，∠ADC=∠ADE+∠CDE所以∠ADE+∠C

5、DE=∠ADE+∠BAD因此∠BAD=∠CDE又AB=AC，可得∠B=∠C而AD=DE所以△ADB≌△DEC例6.（2004年荆州市中考）在等边三角形中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，，则△ABC的边长为（）A.3B.4C.5D.6图7分析：因为△ABC为等边三角形，所以∠B=∠C=60°又因为∠APC是△ABP的外角所以∠APC=∠B+∠BAP而∠B=∠APD=60°所以∠BAP=∠CPD又∠B=∠C，所以△ABP∽△PCD所以。设△ABC边长为x，则解得x=3故选A4.证明角度不等关系例7.已知，如图8，在△ABC中，D是三角形内一点，求证：∠BDC

6、>∠BAC。图8证明：延长BD交AC于E在△ABE中，∠BEC>∠A在△CDE中，∠BDC>∠BEC所以∠BDC>∠A例8.已知：如图9，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，E是AD上一点，求证：∠DEC>∠ABC。图9证明：因为∠BAC=90°所以∠BAD+∠DAC=90°又因为AD⊥BC所以∠ADB=90°所以∠ABC+∠BAD=90°所以∠ABC=∠DAC又因为∠DEC是△AEC外角所以∠DEC>∠DAC所以∠DEC>∠ABC5.证明角度的和差关系例9.如图10，已知：在△ABC中，AB>AC，∠AEF=∠AFE，延长EF与BC的延长线交于G，求证：。图10证明：因为

7、∠AEF=∠B+∠G又因为∠AEF=∠AFE，∠AFE=∠GFC所以∠AEF=∠GFC所以∠GFC=∠B+∠G①又因为∠ACB=∠GFC+∠G②①+②得：∠ACB=∠B+2∠G所以例10.如图11，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°。图11证明：如图11，∠1=∠C+∠D，∠2=∠A+∠E而∠1+∠2+∠B=180°所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°练习：1.（1996年昆明市中考）如图12，、、分别是△ABC的外角，且，则∠