构造函数利用单调性解题 专题辅导 不分版本

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1、构造函数利用单调性解题http://www.DearEDU.com田发胜由函数单调性的定义容易知道：（1）若函数在区间I上单调递增，且，则；（2）若函数在区间I上单调递减，且，则；（3）若函数在区间I上单调，且，则；根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧。许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效。下面举例说明这一思想在解题中的若干应用。一、求值例1设x，y为实数，且满足，则_______。解：由已知条件，可得：故若设，则上述条件即为：。又易知函数在R上是单调增函数，所以由上式有：，即：。二、解方程例2解方程。解：原方

2、程变为：。设，则原方程即为：，又，从而原方程即为：。又易知函数在R上单调递增，所以有，解得原方程的解为：。三、求最值例3已知点B（0，6），C（0，2），试在x轴正半轴上求一点A，使得∠BAC最大。解：设A（a，0），则a>0，∠BAC=α，易知。因为，所以。又因为a>0所以。所以，当且仅当时有最大值为。又函数在（0，）上是单调递增的，所以α的最大值为。即∠BAC的最大值为，此时A（，0）。四、比较大小例4已知a>1，且，试比较的大小。解：由条件得：。引入函数，则上式即为：。易知函数在（0，+∞）上是增函数，所以。五、证明不等式例5设a∈R，求证：。证明：当或a=1时，不等式显然成立。

3、当a>1时，函数在R上是增函数，所以，所以；当时，函数在R上是减函数，所以，又。所以故对一切a∈R，不等式成立。六、求参数范围例6已知关于n的不等式对一切大于1的自然数都成立，试求实数a的取值范围。解：设。因为所以是关于n的单调增函数且当时，，故而要使对一切，n∈N恒成立，则需且只需，即成立即可。所以，解得：。故所求a的取值范围为。例7设函数（a∈R，n∈N，n≥2），若当时，有意义，求a的取值范围。解：要使原函数在上有意义，应有在时，即成立。所以，（*）记，因为每一个在上都是增函数，所以在上是增函数，从而它在x=1时取得最大值所以（*）式等价于也就是a的取值范围是。