变换角构造函数证明三角不等式 专题辅导 不分版本

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1、变换角构造函数证明三角不等式朱胜强在研究三角问题时，常会遇到有如下特点的三角不等式证明问题：不等号的一边为常数，当三角形是正三角形取等号。这类不等式的证明往往有一定技巧，且涉及不同三角函数时不等式其证明的方法亦有显著差异，让人觉得无章可循。本文打算介绍一种方法，此法通过对三角形的角作变换，逐步将其调整为正三角形的三个内角，并寻求适当的函数来完成对不等关系的证明。在△ABC中，不妨设，则必有因此又且即用角代替角A，C后，它们的和不变，但两角“靠得更近了”。如果某三角不等式中等号成立的条件是，则可猜想：三个角的大小愈接近，它们对应的式子的值也就愈接近不等号一侧的常数（最值）

2、。因此若能够确定角由A，C换成后两式间某种不等关系，证明便大有希望。为了叙述简便，假设下面涉及的角A，B，C均满足。另外在构造函数时，用到的角及x均满足下列条件：。例1.在△ABC中，求证sinA+sinB+sinC。分析：考虑函数。因为。又，故在上为减函数。令，解得。由f(x)的单调性知，在三角形中，当两个角的和为定值时，两角差的绝对值愈小，它们的正弦和越大。因为且所以又，及所以从而有从上面的证明可以看出，构造函数是证明不等式的重要一环。构造的函数则以三角形的两角差的绝对值为自变量，确定所得函数的单调性，进而得到相应的不等关系。例2.在△ABC中，求证。分析：先考虑函

3、数由于，所以在上为减函数。即当三角形的两个角的和为定值时，它们差的绝对值愈小，这两个角的半角的余弦之积也就越大。因为且所以又及故所以有在判断函数的单调性时，可将角中的x用适当的方法予以分离，再结合有关三角函数的性质，便可获得所需的结论。例3.在△ABC中，求证。分析：考虑函数。因为注意到当为钝角时，。即当三角形的两个内角和为定值且为钝角时，两角差的绝对值愈小，它们的正弦的平方和也就越大。因为A+C为钝角，所以又为钝角，所以故有例4.在锐角△ABC中，求证。分析：考虑函数。因为由于，及。所以函数在内单调递增。即当锐角三角形的两个内角和为定值时，它们的差的绝对值愈小，它们的

4、正切的和也就越小。注意到可知且。从而有。从上面对不等式证明的分析过程可以看出，其核心在于紧扣式中等号成立的条件，以角的变换作为化归途径，而以相应的函数的单调性作为推理的依据，最终实现对不等式的证明。由于用这种方法证明不等式有较明显的共性特征，因而较容易掌握。感兴趣的读者不妨试一试。