金陵中学代数论证与解析几何

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1、金陵中学代数论证与解析几何1．一动圆经过点A（2，0），且在y轴上截得的弦长为4．（1）求动圆圆心P的轨迹方程；（2）设AO的中点为B（其中O为坐标原点），如果过点B的直线l与动圆圆心P的轨迹相交于不同的两点C、D，证明：以CD为直径的圆与一定直线相切．解：（1）设动圆圆心P的坐标为（x，y），动圆与y轴相交于点M、N，MN的中点为Q，连PQ、PN，则｜PQ｜2＋｜QN｜2＝｜PN｜2，其中｜PQ｜＝｜x｜，｜QN｜＝｜MN｜＝2，｜PN｜＝｜PA｜＝，所以｜x｜2＋22＝（x－2）2＋y2，化简得y2＝4

2、x．故动圆圆心P的轨迹方程为y2＝4x．（2）解法一：如图，点B（1，0）为抛物线y2＝4x的焦点，设CD的中点为M，作抛物线y2＝4x的准线x＝－1，分别过点C、M、D作准线x＝－1的垂线，垂足分别为C′、M′、D′．根据抛物线的定义可知：｜CB｜＝｜CC′｜，｜DB｜＝｜DD′｜．所以｜MM′｜＝（｜CC′｜＋｜DD′｜）＝（｜CB｜＋｜DB｜）＝｜CD｜．这说明以CD为直径的圆的圆心M到准线x＝－1的距离恰好等于该圆的半径．故以CD为直径的圆与定直线x＝－1相切．解法二：点B的坐标为（1，0）．①当直

3、线l的斜率存在时，可设直线l的方程为y＝k（x－1）（k≠0）．将直线y＝k（x－1）代入y2＝4x中，并整理得k2x2－2（k2＋2）x＋k2＝0（＊），设C（x1，y1），D（x2，y2），则x1，x2为方程（＊）的两相异实根，所以x1＋x2＝，x1x2＝1，于是y1＋y2＝k（x1＋x2－2）＝．故CD的中点坐标为（，），而｜CD｜＝＝，所以以CD为直径的圆的半径为r＝．圆心（，）到直线x＝－1的距离为＋1＝＝r，即以CD为直径的圆与定直线x＝－1相切．②当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝－1

4、，它与抛物线交于点C（1，－2）和D（1，2），以CD为直径的圆的方程为（x－1）2＋y2＝4，它与定直线x＝－1相切．综上所述，以CD为直径的圆与定直线x＝－1相切．xyODCAB2．如图，直角坐标系xOy中，一直角三角形ABC，∠C＝90°，B、C在x轴上且关于原点O对称，D在边BC上，BD＝3DC，∆ABC的周长为12．若一双曲线E以B、C为焦点，且经过A、D两点．（1）求双曲线E的方程；（2）若一过点P（m，0）（m为非零常数）的直线l与双曲线E相交于不同于双曲线顶点的两点M、N，且＝λ，问在x轴上

5、是否存在定点G，使⊥（－λ）？若存在，求出所有这样定点G的坐标；若不存在，请说明理由．xyODCAB解：（1）设双曲线E的方程为－＝1（a＞0，b＞0），则B（－c，0），D（a，0），C（c，0）．由BD＝3DC，得c＋a＝3（c－a），即c＝2a．∴，解之得a＝1，∴c＝2，b＝．∴双曲线E的方程为x2－＝1．（2）设在x轴上存在定点G（T，0），使⊥（－λ）．xyOGCABMNP设直线l的方程为x－m＝ky，M（x1，y1），N（x2，y2）．由＝λ，得y1＋λy2＝0．即λ＝－①∵＝（4，0），－λ

6、＝（x1―T―λx2＋λT，y1－λy2），由⊥（－λ）可得x1―T＝λ（x2－T）．即ky1＋m－T＝λ（ky2＋m－T）②把①代入②，得2ky1y2＋（m－T）（y1＋y2）③把x－m＝ky，代入x2－＝1并整理得（3k2－1）y2＋6kmy＋3（m2－1）＝0其中3k2－1≠0且，∆＞0，即k2≠，且3k2＋m2＞1．所以y1＋y2＝，y1y2＝．代入③，得－＝0，化简得kmT＝k．当T＝时，上式恒成立．因此，在x轴上存在定点G（，0），使⊥（－λ）．3．已知焦点在x轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原

7、点，且两条渐近线与以点A（0，）为圆心，1为半径为圆相切，又知C的一个焦点与A关于直线y＝x对称．（1）求双曲线C的方程；（2）若Q是双曲线C上的任一点，F1、F2为双曲线C的左、右两个焦点，从F1引∠F1QF2的平分线的垂线，垂足为N，试求点N的轨迹方程；（3）设直线y＝mx＋1与双曲线C的左支交于A、B两点，另一直线l经过M（－2，0）及AB的中点，求直线l在y轴上的截距b的取值范围．解：（1）设双曲线C的渐近线方程为y＝kx，即kx－y＝0∵该直线与圆x2＋（y－）2＝1相切，∴双曲线C的两条渐近线方

8、程为y＝±x故设双曲线C的方程为－＝1，又∵双曲线C的一个焦点为（，0），∴2a2＝2，a2＝1，∴双曲线C的方程为x2－y2＝1（2）若Q在双曲线的右支上，则延长QF2到T，使｜QT｜＝｜OF1｜若Q在双曲线的左支上，则在QF2上取一点T，使｜QT｜＝｜QF1｜根据双曲线的定义｜TF2｜＝2，所以点T在以F2（，0）为圆心，2为半径的圆上，即点T的轨迹方程是（x－）2＋y2＝4（x≠0）①由于点N是线段F1T的